Номер 111, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 111, страница 37.

Условие.

111 Сравнить числа a и b, если:

1) $a = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}$, $b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}$

2) $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{10}$

3) $a = 5 - \sqrt{15}$, $b = \sqrt{17} - 3$

4) $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$, $b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравнить $a = \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{3+2\sqrt{2}}$ и $b = \frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$.

Сначала упростим выражение для числа $a$. Оно состоит из двух слагаемых. Упростим каждое из них, избавившись от иррациональности в знаменателе.

Первое слагаемое:

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.

Второе слагаемое:

$\frac{5}{3+2\sqrt{2}} = \frac{5(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{5(3-2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{5(3-2\sqrt{2})}{9 - 8} = \frac{5(3-2\sqrt{2})}{1} = 15 - 10\sqrt{2}$.

Теперь сложим полученные выражения:

$a = (\sqrt{5}+\sqrt{3}) + (15 - 10\sqrt{2}) = \sqrt{5}+\sqrt{3}+15-10\sqrt{2}$.

Теперь упростим выражение для числа $b$, также избавившись от иррациональности в знаменателе. Заметим, что $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

$b = \frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{2( \sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{2(2\sqrt{2}+\sqrt{5})}{3} = \frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$.

Сравним $a$ и $b$. Рассмотрим их разность $a-b$:

$a - b = (\sqrt{5}+\sqrt{3}+15-10\sqrt{2}) - \frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$

$a - b = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{3}+15-10\sqrt{2}) - (4\sqrt{2}+2\sqrt{5})}{3}$

$a - b = \frac{3\sqrt{5}+3\sqrt{3}+45-30\sqrt{2} - 4\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}+3\sqrt{3}+45-34\sqrt{2}}{3}$.

Чтобы сравнить $a$ и $b$, нужно определить знак этого выражения, то есть знак числителя: $\sqrt{5}+3\sqrt{3}+45-34\sqrt{2}$.

Сравним $\sqrt{5}+3\sqrt{3}+45$ и $34\sqrt{2}$.

Воспользуемся оценкой корней:

$2.23 < \sqrt{5} < 2.24$

$1.73 < \sqrt{3} < 1.74 \implies 5.19 < 3\sqrt{3} < 5.22$

$1.41 < \sqrt{2} < 1.42 \implies 47.94 < 34\sqrt{2} < 48.28$

Оценим левую часть: $\sqrt{5}+3\sqrt{3}+45 > 2.23 + 5.19 + 45 = 52.42$.

Оценим правую часть: $34\sqrt{2} < 48.28$.

Так как $52.42 > 48.28$, то $\sqrt{5}+3\sqrt{3}+45 > 34\sqrt{2}$.

Следовательно, числитель дроби $a-b$ положителен, а значит $a-b>0$, откуда $a>b$.

Ответ: $a > b$.

2) Сравнить $a = \sqrt{2}+\sqrt{3}$ и $b = \sqrt{10}$.

Оба числа $a$ и $b$ положительны. Поэтому мы можем сравнить их квадраты. Если $a^2 > b^2$, то $a > b$, и наоборот.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$.

Теперь сравним $a^2$ и $b^2$, то есть $5 + 2\sqrt{6}$ и $10$.

Вычтем 5 из обоих выражений: $2\sqrt{6}$ и $5$.

Снова возведем в квадрат (оба числа положительны):

$(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

$5^2 = 25$.

Так как $24 < 25$, то $2\sqrt{6} < 5$.

Следовательно, $5 + 2\sqrt{6} < 10$, что означает $a^2 < b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ положительны, из $a^2 < b^2$ следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

3) Сравнить $a = 5-\sqrt{15}$ и $b = \sqrt{17}-3$.

Сначала определим знаки чисел $a$ и $b$.

Для $a$: сравним $5$ и $\sqrt{15}$. $5^2 = 25$, $(\sqrt{15})^2 = 15$. Так как $25 > 15$, то $5 > \sqrt{15}$, следовательно, $a = 5 - \sqrt{15} > 0$.

Для $b$: сравним $\sqrt{17}$ и $3$. $(\sqrt{17})^2 = 17$, $3^2 = 9$. Так как $17 > 9$, то $\sqrt{17} > 3$, следовательно, $b = \sqrt{17} - 3 > 0$.

Поскольку оба числа положительны, мы можем их сравнивать. Перегруппируем члены предполагаемого неравенства, чтобы избавиться от знаков минус:

Сравним $5-\sqrt{15}$ и $\sqrt{17}-3$.

Это эквивалентно сравнению $5+3$ и $\sqrt{17}+\sqrt{15}$, то есть сравнению $8$ и $\sqrt{17}+\sqrt{15}$.

Обе части положительны, поэтому можно сравнить их квадраты.

$8^2 = 64$.

$(\sqrt{17}+\sqrt{15})^2 = (\sqrt{17})^2 + 2\sqrt{17}\sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 17 + 2\sqrt{255} + 15 = 32 + 2\sqrt{255}$.

Теперь сравним $64$ и $32 + 2\sqrt{255}$.

Вычтем 32 из обеих частей: сравним $32$ и $2\sqrt{255}$.

Разделим на 2: сравним $16$ и $\sqrt{255}$.

Возведем в квадрат: $16^2 = 256$, $(\sqrt{255})^2 = 255$.

Так как $256 > 255$, то $16 > \sqrt{255}$.

Возвращаясь по цепочке преобразований, получаем:

$32 > 2\sqrt{255} \implies 64 > 32+2\sqrt{255} \implies 8^2 > (\sqrt{17}+\sqrt{15})^2 \implies 8 > \sqrt{17}+\sqrt{15}$.

А это значит, что $5+3 > \sqrt{17}+\sqrt{15}$, что равносильно $5-\sqrt{15} > \sqrt{17}-3$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

4) Сравнить $a = \sqrt{13}-\sqrt{12}$ и $b = \sqrt{12}-\sqrt{11}$.

Оба числа $a$ и $b$ положительны. Для их сравнения преобразуем выражения, домножив и разделив каждое на сопряженное выражение (этот метод иногда называют "рационализацией числителя").

Для числа $a$:

$a = \sqrt{13}-\sqrt{12} = \frac{(\sqrt{13}-\sqrt{12})(\sqrt{13}+\sqrt{12})}{\sqrt{13}+\sqrt{12}} = \frac{13-12}{\sqrt{13}+\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$.

Для числа $b$:

$b = \sqrt{12}-\sqrt{11} = \frac{(\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} = \frac{12-11}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$.

Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$ и $\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$.

Так как числители дробей равны (и положительны), большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше.

Сравним знаменатели: $\sqrt{13}+\sqrt{12}$ и $\sqrt{12}+\sqrt{11}$.

Вычтем из обоих выражений $\sqrt{12}$, получим $\sqrt{13}$ и $\sqrt{11}$.

Так как $13 > 11$, то $\sqrt{13} > \sqrt{11}$.

Следовательно, $\sqrt{13}+\sqrt{12} > \sqrt{12}+\sqrt{11}$.

Знаменатель дроби $a$ больше знаменателя дроби $b$. Значит, сама дробь $a$ меньше дроби $b$.

Таким образом, $a < b$.

Ответ: $a < b$.