Номер 113, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 113, страница 38.

Условие.

113 Вычислить:

1) $(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16})$

2) $(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16})$

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность кубов":

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

В нашем выражении обозначим $a = \sqrt[3]{7}$ и $b = \sqrt[3]{4}$.

Тогда первая скобка $(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4})$ соответствует части формулы $(a - b)$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16})$ части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

• $a^2 = (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$
• $ab = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{7 \cdot 4} = \sqrt[3]{28}$
• $b^2 = (\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$

Поскольку все члены второй скобки соответствуют формуле, мы можем применить ее для упрощения всего выражения до $a^3 - b^3$.

Теперь вычислим значения $a^3$ и $b^3$:

$a^3 = (\sqrt[3]{7})^3 = 7$

$b^3 = (\sqrt[3]{4})^3 = 4$

Итоговый результат:

$a^3 - b^3 = 7 - 4 = 3$

Ответ: 3

2) $(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "сумма кубов":

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Для удобства поменяем множители местами, так как от перестановки множителей произведение не меняется:

$(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25})$

В нашем выражении обозначим $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = \sqrt[3]{5}$.

Тогда первая скобка $(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})$ соответствует части формулы $(a + b)$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25})$ части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

• $a^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$
• $-ab = -(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5}) = -\sqrt[3]{2 \cdot 5} = -\sqrt[3]{10}$
• $b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$

Поскольку все члены второй скобки соответствуют формуле, мы можем применить ее для упрощения всего выражения до $a^3 + b^3$.

Теперь вычислим значения $a^3$ и $b^3$:

$a^3 = (\sqrt[3]{2})^3 = 2$

$b^3 = (\sqrt[3]{5})^3 = 5$

Итоговый результат:

$a^3 + b^3 = 2 + 5 = 7$

Ответ: 7