Номер 119, страница 46 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 119, страница 46.

Условие.

119 Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):

1) $y = x^6$;

2) $y = x^5$;

3) $y = x^7$;

4) $y = x^{-2}$;

5) $y = x^{-3}$;

6) $y = x^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Схематический график: для функции $y=x^6$ график представляет собой кривую, похожую на параболу, симметричную относительно оси Oy (так как функция является четной). Ветви графика направлены вверх. Он проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1). По сравнению с параболой $y=x^2$, график $y=x^6$ более плоский вблизи нуля и растет быстрее при $|x| > 1$.
Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: так как показатель степени четный, $y$ принимает только неотрицательные значения, $E(y) = [0; +\infty)$.
Ограниченность: функция ограничена снизу (например, числом 0), но не ограничена сверху.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$, функция ограничена снизу.

2) Схематический график: для функции $y=x^5$ график представляет собой кривую, похожую на кубическую параболу, симметричную относительно начала координат (так как функция является нечетной). График проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, -1) и расположен в I и III координатных четвертях.
Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: функция может принимать любые действительные значения, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

3) Схематический график: для функции $y=x^7$ график похож на график $y=x^5$. Он симметричен относительно начала координат (нечетная функция), проходит через точки (0, 0), (1, 1), (-1, -1) и расположен в I и III координатных четвертях.
Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: функция может принимать любые действительные значения, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

4) Схематический график: функция $y=x^{-2}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^2}$. Её график состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. График симметричен относительно оси Oy (четная функция). Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось Oy ($x=0$) — вертикальной асимптотой.
Область определения: функция не определена при $x=0$, поэтому $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y > 0$. Следовательно, $E(y) = (0; +\infty)$.
Ограниченность: функция ограничена снизу (например, числом 0), но не ограничена сверху.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (0; +\infty)$, функция ограничена снизу.

5) Схематический график: функция $y=x^{-3}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^3}$. Её график (гипербола) состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат (нечетная функция). Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось Oy ($x=0$) — вертикальной асимптотой.
Область определения: функция не определена при $x=0$, поэтому $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: $y$ может принимать любые значения, кроме нуля, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

6) Данная функция $y=x^6$ идентична функции, рассмотренной в пункте 1.
Схематический график: кривая, похожая на параболу, симметричная относительно оси Oy, с ветвями вверх.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ограниченность: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$, функция ограничена снизу.