Номер 122, страница 46 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 122, страница 46.

Условие.

122 Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей:

1) $4,1^{12}$;

2) $0,2^3$;

3) $0,7^9$;

4) $(\sqrt{3})^{22}$;

5) $1,3^{-2}$;

6) $0,8^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для сравнения заданных чисел с единицей воспользуемся следующими свойствами степенной функции $y = a^p$:

• Если основание $a > 1$, то при возведении в положительную степень $p > 0$ результат будет больше 1 ($a^p > 1$), а при возведении в отрицательную степень $p < 0$ результат будет меньше 1 ($a^p < 1$).
• Если основание $0 < a < 1$, то при возведении в положительную степень $p > 0$ результат будет меньше 1 ($a^p < 1$), а при возведении в отрицательную степень $p < 0$ результат будет больше 1 ($a^p > 1$).
• Если основание $a=1$, то результат всегда равен 1 ($1^p=1$).

1) $4,1^{12}$

Основание степени $a = 4,1$. Так как $4,1 > 1$.
Показатель степени $p = 12$. Так как $12 > 0$.
Поскольку основание больше 1 и показатель степени положительный, значение выражения больше 1.
Ответ: $4,1^{12} > 1$.

2) $0,2^3$

Основание степени $a = 0,2$. Так как $0 < 0,2 < 1$.
Показатель степени $p = 3$. Так как $3 > 0$.
Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1 и показатель степени положительный, значение выражения меньше 1.
Ответ: $0,2^3 < 1$.

3) $0,7^9$

Основание степени $a = 0,7$. Так как $0 < 0,7 < 1$.
Показатель степени $p = 9$. Так как $9 > 0$.
Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1 и показатель степени положительный, значение выражения меньше 1.
Ответ: $0,7^9 < 1$.

4) $(\sqrt{3})^{22}$

Основание степени $a = \sqrt{3}$. Так как $3 > 1$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{3} > 1$.
Показатель степени $p = 22$. Так как $22 > 0$.
Поскольку основание больше 1 и показатель степени положительный, значение выражения больше 1.
Ответ: $(\sqrt{3})^{22} > 1$.

5) $1,3^{-2}$

Основание степени $a = 1,3$. Так как $1,3 > 1$.
Показатель степени $p = -2$. Так как $-2 < 0$.
Поскольку основание больше 1 и показатель степени отрицательный, значение выражения меньше 1.
Также можно записать: $1,3^{-2} = \frac{1}{1,3^2}$. Так как $1,3^2 > 1$, то обратная дробь $\frac{1}{1,3^2} < 1$.
Ответ: $1,3^{-2} < 1$.

6) $0,8^{-1}$

Основание степени $a = 0,8$. Так как $0 < 0,8 < 1$.
Показатель степени $p = -1$. Так как $-1 < 0$.
Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1 и показатель степени отрицательный, значение выражения больше 1.
Также можно записать: $0,8^{-1} = \frac{1}{0,8} = \frac{10}{8} = 1,25$. А $1,25 > 1$.
Ответ: $0,8^{-1} > 1$.