Номер 128, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 128, страница 47.

Условие.

128 Пользуясь рисунком 13 (с. 45), найти промежутки, на кото-рых график функции:

1) $y = x^{\frac{1}{5}}$;

2) $y = x^{\frac{5}{3}}$ — лежит выше (ниже) графика функции $y = x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = x^{\frac{1}{5}}$

Чтобы найти промежутки, на которых график функции $y = x^{\frac{1}{5}}$ лежит выше или ниже графика функции $y = x$, необходимо определить, на каких интервалах выполняется неравенство $x^{\frac{1}{5}} > x$ (выше) или $x^{\frac{1}{5}} < x$ (ниже). Для этого сначала найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^{\frac{1}{5}} = x$.

Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$(x^{\frac{1}{5}})^5 = x^5$
$x = x^5$

Перенесем все члены в одну сторону и разложим на множители:
$x^5 - x = 0$
$x(x^4 - 1) = 0$
$x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$
$x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$

Так как выражение $x^2 + 1$ всегда положительно, корнями уравнения являются $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Эти точки являются абсциссами точек пересечения двух графиков. Они разбивают числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; \infty)$.

Анализируя расположение графиков (например, по рисунку 13, или подставляя пробные точки из каждого интервала) устанавливаем:
• График функции $y = x^{\frac{1}{5}}$ лежит выше графика $y = x$ при $x \in (-\infty, -1)$ и $x \in (0, 1)$.
• График функции $y = x^{\frac{1}{5}}$ лежит ниже графика $y = x$ при $x \in (-1, 0)$ и $x \in (1, \infty)$.

Ответ: график функции лежит выше на промежутках $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ и ниже на промежутках $(-1, 0) \cup (1, \infty)$.

2) $y = x^{\frac{5}{3}}$

Действуем аналогично. Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^{\frac{5}{3}}$ и $y=x$, решив уравнение $x^{\frac{5}{3}} = x$.

Возведем обе части уравнения в куб:
$(x^{\frac{5}{3}})^3 = x^3$
$x^5 = x^3$

Перенесем все члены в одну сторону и разложим на множители:
$x^5 - x^3 = 0$
$x^3(x^2 - 1) = 0$
$x^3(x - 1)(x + 1) = 0$

Корнями этого уравнения также являются $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$.

Анализируя расположение графиков (например, по рисунку 13, или сравнивая значения функций в каждом из интервалов) устанавливаем:
• График функции $y = x^{\frac{5}{3}}$ лежит выше графика $y = x$ при $x \in (-1, 0)$ и $x \in (1, \infty)$.
• График функции $y = x^{\frac{5}{3}}$ лежит ниже графика $y = x$ при $x \in (-\infty, -1)$ и $x \in (0, 1)$.

Ответ: график функции лежит выше на промежутках $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ и ниже на промежутках $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.