Номер 133, страница 52 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 7. Взаимно обратные функции - номер 133, страница 52.

Условие.

133 Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

1) $y = -2x + 1;$

2) $y = \frac{1}{4}x - 7;$

3) $y = x^3 - 1;$

4) $y = (x - 1)^3;$

5) $y = \frac{2}{x};$

6) $y = \frac{3}{x - 4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения области определения и множества значений функции, обратной к данной, воспользуемся свойством: область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной. Обозначим исходную функцию как $f(x)$, а обратную ей — как $g(x)$. Тогда $D(g) = E(f)$ и $E(g) = D(f)$.

1)

Дана функция $f(x) = -2x + 1$. Это линейная функция. Область определения $D(f)$ и множество значений $E(f)$ любой линейной функции (с коэффициентом при $x$, не равным нулю) — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$
$E(f) = (-\infty; +\infty)$
Следовательно, для обратной функции $g(x)$:
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x - 7$. Это также линейная функция. Её область определения и множество значений — все действительные числа.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$
$E(f) = (-\infty; +\infty)$
Следовательно, для обратной функции $g(x)$:
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

3)

Дана функция $f(x) = x^3 - 1$. Это кубическая функция. Кубические функции определены для всех действительных чисел и принимают все действительные значения.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$
$E(f) = (-\infty; +\infty)$
Следовательно, для обратной функции $g(x)$:
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

4)

Дана функция $f(x) = (x - 1)^3$. Это также кубическая функция, смещенная по горизонтали. Смещение не влияет на область определения и множество значений.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$
$E(f) = (-\infty; +\infty)$
Следовательно, для обратной функции $g(x)$:
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

5)

Дана функция $f(x) = \frac{2}{x}$. Это дробно-рациональная функция (гипербола).
Найдем область определения $D(f)$: функция определена, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем множество значений $E(f)$: выразим $x$ через $y = f(x)$.
$y = \frac{2}{x} \Rightarrow x = \frac{2}{y}$.
Из этого выражения видно, что $y \neq 0$.
$E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Следовательно, для обратной функции $g(x)$:
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{x-4}$. Это дробно-рациональная функция.
Найдем область определения $D(f)$: функция определена, когда знаменатель не равен нулю.
$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
$D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Найдем множество значений $E(f)$: выразим $x$ через $y = f(x)$.
$y = \frac{3}{x-4}$
$y(x-4) = 3$
$x-4 = \frac{3}{y}$
$x = 4 + \frac{3}{y}$
Из этого выражения видно, что $y \neq 0$.
$E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Следовательно, для обратной функции $g(x)$:
Область определения: $D(g) = E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.