Номер 130, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 130, страница 47.

Условие.

130 Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}};

2) $y = \sqrt[7]{x}$ и $y = x^{\frac{5}{7}}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}}$, необходимо приравнять их правые части. Это даст нам уравнение для нахождения абсцисс (координат $x$) точек пересечения.

$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{5}}$

Представим корень пятой степени в виде степени с рациональным показателем:

$x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{1}{5}} = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^{\frac{1}{5}}$:

$x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{3}{5} - \frac{1}{5}} - 1) = 0$

$x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{2}{5}} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x^{\frac{1}{5}} = 0$. Возводя обе части уравнения в пятую степень, получаем $x = 0$.

Случай 2: $x^{\frac{2}{5}} - 1 = 0$. Отсюда $x^{\frac{2}{5}} = 1$. Возводя обе части в степень $\frac{5}{2}$, получаем $x = 1^{\frac{5}{2}}$, что равно 1. Также можно рассуждать так: $(\sqrt[5]{x})^2 = 1$, значит $\sqrt[5]{x} = 1$ или $\sqrt[5]{x} = -1$. Из первого уравнения $x=1^5=1$, из второго $x=(-1)^5=-1$.

Таким образом, мы получили три абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$), подставив каждое значение $x$ в любую из исходных функций, например, в $y = \sqrt[5]{x}$:

Если $x = 0$, то $y = \sqrt[5]{0} = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x = 1$, то $y = \sqrt[5]{1} = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x = -1$, то $y = \sqrt[5]{-1} = -1$. Координаты третьей точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

2) Аналогично найдем точки пересечения графиков функций $y = \sqrt[7]{x}$ и $y = x^{\frac{5}{7}}$. Приравняем правые части функций:

$\sqrt[7]{x} = x^{\frac{5}{7}}$

Перейдем к степеням с рациональными показателями:

$x^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{5}{7}}$

Перенесем все в одну сторону:

$x^{\frac{5}{7}} - x^{\frac{1}{7}} = 0$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{7}}$:

$x^{\frac{1}{7}}(x^{\frac{5}{7} - \frac{1}{7}} - 1) = 0$

$x^{\frac{1}{7}}(x^{\frac{4}{7}} - 1) = 0$

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

Случай 1: $x^{\frac{1}{7}} = 0$. Возведя в седьмую степень, получаем $x = 0$.

Случай 2: $x^{\frac{4}{7}} - 1 = 0$. Отсюда $x^{\frac{4}{7}} = 1$. Это означает, что $(\sqrt[7]{x})^4 = 1$. Тогда $\sqrt[7]{x} = 1$ или $\sqrt[7]{x} = -1$. В первом случае $x = 1^7 = 1$. Во втором случае $x = (-1)^7 = -1$.

Мы получили три абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Найдем соответствующие ординаты $y$ с помощью функции $y = \sqrt[7]{x}$:

Если $x = 0$, то $y = \sqrt[7]{0} = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x = 1$, то $y = \sqrt[7]{1} = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x = -1$, то $y = \sqrt[7]{-1} = -1$. Координаты третьей точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.