Номер 131, страница 52 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 7. Взаимно обратные функции - номер 131, страница 52.

Условие.

131 (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:

1) $y = 3x - 1;$

2) $y = x^2 + 7;$

3) $y = \frac{1}{x};$

4) $y = \sqrt{x};$

5) $y = x^4;$

6) $y = x^4, x < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы функция была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была взаимно однозначной (инъективной), то есть чтобы каждому значению функции соответствовало только одно значение аргумента. Проверим это свойство для каждой из данных функций.

1) $y = 3x - 1$
Это линейная функция, её график — прямая линия. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения, так как её угловой коэффициент $3 > 0$ (или производная $y' = 3 > 0$). Любая строго монотонная функция является обратимой, так как каждому значению $y$ соответствует единственное значение $x$.
Ответ: да, является.

2) $y = x^2 + 7$
Это квадратичная функция, её график — парабола. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Данная функция не является взаимно однозначной на всей области определения. Например, для разных значений аргумента $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$ функция принимает одно и то же значение: $y(-2) = (-2)^2 + 7 = 11$ $y(2) = 2^2 + 7 = 11$ Поскольку разным значениям $x$ соответствует одно и то же значение $y$, функция не является обратимой.
Ответ: нет, не является.

3) $y = \frac{1}{x}$
Это функция обратной пропорциональности. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. На всей своей области определения функция является взаимно однозначной. Если предположить, что $y(x_1) = y(x_2)$, то $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$, что влечет за собой $x_1 = x_2$. Это означает, что каждому значению функции из её области значений $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ соответствует ровно одно значение аргумента. Следовательно, функция обратима.
Ответ: да, является.

4) $y = \sqrt{x}$
Это функция арифметического квадратного корня. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$. На всей своей области определения функция является строго возрастающей (её производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ для $x>0$). Так как функция строго монотонна, она является обратимой.
Ответ: да, является.

5) $y = x^4$
Это степенная функция. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Эта функция является чётной, так как $y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$. Это означает, что разным значениям аргумента (например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$) соответствует одно и то же значение функции: $y(-1)=1$ и $y(1)=1$. Следовательно, функция не является взаимно однозначной и не является обратимой на всей своей области определения.
Ответ: нет, не является.

6) $y = x^4, x < 0$
В данном случае рассматривается та же функция $y=x^4$, но на ограниченной области определения $x \in (-\infty; 0)$. На этом интервале функция является строго убывающей. Её производная $y' = 4x^3$. Поскольку $x < 0$, то $x^3 < 0$, и, следовательно, $y' < 0$. Так как на заданной области определения функция строго монотонна, она является взаимно однозначной и, следовательно, обратимой.
Ответ: да, является.