Номер 129, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 129, страница 47.

Условие.

129 Построить график функции и указать ее область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):

1) $y = |x|^{\frac{1}{3}};$

2) $y = |x|^5;$

3) $y = |x|^3 + 1;$

4) $y = |x|^{\frac{1}{5}} - 2;$

5) $y = |x+2|^{\frac{1}{3}};$

6) $y = |2x|^{-3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = |x|^{\frac{1}{3}}$

Построение графика:
Функция является четной, так как $y(-x) = |-x|^{\frac{1}{3}} = |x|^{\frac{1}{3}} = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. Рассмотрим функцию для $x \ge 0$: $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$. Это график корня кубического, проходящий через точки (0,0), (1,1), (8,2). Для $x < 0$ график является зеркальным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси Oy. В точке (0,0) график имеет "клюв" (касп).

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$, так как $|x| \ge 0$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Множество значений: Так как $|x|^{\frac{1}{3}} \ge 0$, то наименьшее значение функции равно 0 (при $x=0$). $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
4. Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$. Промежутки возрастания: $[0; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

2) $y = |x|^5$

Построение графика:
Функция является четной, так как $y(-x) = |-x|^5 = |x|^5 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy. При $x \ge 0$ имеем $y = x^5$. Это степенная функция, график которой проходит через точки (0,0) и (1,1) и растет очень быстро. Часть графика для $x < 0$ симметрична части для $x \ge 0$. График напоминает параболу $y=x^2$, но с более "плоским" дном у вершины (0,0) и более крутыми ветвями.

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Множество значений: Так как $|x|^5 \ge 0$, наименьшее значение функции равно 0 (при $x=0$). $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
4. Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, не ограничена сверху.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$. Промежутки возрастания: $[0; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

3) $y = |x|^3 + 1$

Построение графика:
График этой функции получается из графика функции $y = |x|^3$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. График $y = |x|^3$ симметричен относительно оси Oy (четная функция), проходит через (0,0), (1,1), (2,8). Следовательно, график $y = |x|^3 + 1$ также симметричен относительно оси Oy, а его вершина находится в точке (0,1).

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Множество значений: Так как $|x|^3 \ge 0$, то $|x|^3 + 1 \ge 1$. Наименьшее значение равно 1. $E(y) = [1; +\infty)$.
3. Промежутки возрастания и убывания: Сдвиг вверх не меняет промежутки монотонности. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
4. Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 1, не ограничена сверху.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [1; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$. Промежутки возрастания: $[0; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

4) $y = |x|^{\frac{1}{5}} - 2$

Построение графика:
График этой функции получается из графика $y = |x|^{\frac{1}{5}}$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. График $y = |x|^{\frac{1}{5}}$ симметричен относительно оси Oy (четная функция), проходит через (0,0), (1,1), (32,2) и имеет "клюв" в точке (0,0). Следовательно, график $y = |x|^{\frac{1}{5}} - 2$ также симметричен относительно оси Oy, а его "клюв" находится в точке (0, -2).

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Множество значений: Так как $|x|^{\frac{1}{5}} \ge 0$, то $|x|^{\frac{1}{5}} - 2 \ge -2$. Наименьшее значение равно -2. $E(y) = [-2; +\infty)$.
3. Промежутки возрастания и убывания: Сдвиг вниз не меняет промежутки монотонности. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
4. Ограниченность: Функция ограничена снизу числом -2, не ограничена сверху.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [-2; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$. Промежутки возрастания: $[0; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

5) $y = |x+2|^{\frac{1}{3}}$

Построение графика:
График этой функции получается из графика $y = |x|^{\frac{1}{3}}$ (рассмотрен в п.1) сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. График $y = |x|^{\frac{1}{3}}$ имеет "клюв" в (0,0) и симметричен относительно оси Oy. Следовательно, график $y = |x+2|^{\frac{1}{3}}$ имеет "клюв" в точке (-2,0) и симметричен относительно прямой $x=-2$.

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Множество значений: Так как $|x+2|^{\frac{1}{3}} \ge 0$, наименьшее значение функции равно 0 (при $x=-2$). $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Промежутки возрастания и убывания: Точка минимума сместилась в $x=-2$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.
4. Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, не ограничена сверху.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; -2]$. Промежутки возрастания: $[-2; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

6) $y = |2x|^{-3}$

Построение графика:
Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{|2x|^3} = \frac{1}{8|x|^3}$. Функция является четной, график симметричен относительно оси Oy. При $x > 0$ имеем $y = \frac{1}{8x^3}$. Это убывающая функция, ветвь которой находится в первом координатном углу. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Проходит через точку $(\frac{1}{2}, 1)$. Ветвь для $x<0$ симметрична ей относительно оси Oy и находится во втором координатном углу.

Свойства функции:
1. Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $|2x|^3 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Множество значений: Так как $|2x|^3 > 0$ для всех $x$ из области определения, то и $y = \frac{1}{|2x|^3} > 0$. Значение 0 не достигается. $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
4. Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, не ограничена сверху.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (0; +\infty)$. Промежутки возрастания: $(-\infty; 0)$. Промежутки убывания: $(0; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.