Номер 123, страница 46 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 123, страница 46.

Условие.

123 Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:

1) $y = -(x - 2)^3 - 1$;

2) $y = (x + 3)^4 + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рассмотрим функцию $y = -(x - 2)^3 - 1$.

Построение графика функции.
График данной функции можно получить из графика базовой кубической функции $y = x^3$ с помощью следующих последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^3$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Получаем функцию $y = (x - 2)^3$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс. Получаем функцию $y = -(x - 2)^3$.
3. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Получаем искомую функцию $y = -(x - 2)^3 - 1$.
Центр симметрии графика (точка перегиба) смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, -1)$.

Область определения и множество значений.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа.
Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Так как это кубическая функция, ее ветви уходят в $+\infty$ и $-\infty$.
Множество значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Возрастание и убывание.
Базовая функция $y=x^3$ является возрастающей. Наличие знака "минус" перед скобкой ($y = -f(x)$) меняет монотонность на противоположную. Сдвиги не влияют на характер монотонности. Следовательно, функция $y = -(x - 2)^3 - 1$ является убывающей на всей своей области определения.

Ограниченность.
Поскольку множество значений функции — все действительные числа, функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Наибольшее и наименьшее значения.
Так как функция не ограничена, она не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: График функции — кубическая парабола с центром симметрии в точке $(2, -1)$, полученная сдвигом, отражением и сдвигом графика $y=x^3$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Функция является убывающей на всей области определения. Функция не является ограниченной. Наибольшего и наименьшего значений не существует.

2) Рассмотрим функцию $y = (x + 3)^4 + 2$.

Построение графика функции.
График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = x^4$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^4$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Получаем функцию $y = (x + 3)^4$.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Получаем искомую функцию $y = (x + 3)^4 + 2$.
Вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 2)$. График симметричен относительно прямой $x = -3$.

Область определения и множество значений.
Функция является многочленом, ее область определения — все действительные числа.
Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Для нахождения множества значений заметим, что выражение $(x+3)^4$ всегда неотрицательно, т.е. $(x+3)^4 \ge 0$ для любого $x$. Тогда $y = (x+3)^4 + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Множество значений: $E(y) = [2, +\infty)$.

Возрастание и убывание.
Функция не является монотонной на всей области определения. Ее монотонность меняется в точке вершины $x=-3$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$.
Функция возрастает на промежутке $[-3, +\infty)$.

Ограниченность.
Так как $y \ge 2$ для всех $x$ из области определения, функция ограничена снизу числом 2. Сверху функция не ограничена.

Наибольшее и наименьшее значения.
Функция имеет наименьшее значение в своей вершине.
Наименьшее значение: $y_{наим} = 2$ (достигается при $x = -3$).
Наибольшего значения не существует, так как функция не ограничена сверху.

Ответ: График функции — парабола четвертой степени с вершиной в точке $(-3, 2)$, полученная сдвигами графика $y=x^4$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(y) = [2, +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty, -3]$ и возрастает на $[-3, +\infty)$. Функция ограничена снизу. Наименьшее значение $y_{наим} = 2$, наибольшего значения не существует.