Номер 118, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 118, страница 38.

Условие.

118 Доказать, что $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного тождества можно использовать два основных способа.

Способ 1: Алгебраический

Обозначим искомое выражение переменной $x$: $$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$$ Возведем обе части этого уравнения в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$. Пусть $a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$. Тогда: $$x^3 = \left(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\right)^3$$ $$x^3 = \left(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\right)^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\right)$$

Теперь упростим отдельные части полученного выражения.
Сумма кубов $a^3+b^3$: $$a^3+b^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) = 14$$ Произведение $ab$: $$ab = \sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})}$$ Выражение под корнем является разностью квадратов $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$: $$(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2}) = 7^2 - (5\sqrt{2})^2 = 49 - (25 \cdot 2) = 49 - 50 = -1$$ Следовательно, произведение $ab = \sqrt[3]{-1} = -1$.
Сумма $a+b$ является нашим исходным выражением $x$.

Подставим вычисленные значения обратно в уравнение для $x^3$: $$x^3 = 14 + 3 \cdot (-1) \cdot x$$ $$x^3 = 14 - 3x$$ Перенесем все члены в левую часть и получим кубическое уравнение: $$x^3 + 3x - 14 = 0$$

Решим это уравнение. Попробуем подобрать целый корень среди делителей свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$. Подставим $x=2$: $$2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 14 - 14 = 0$$ Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Чтобы проверить, есть ли другие действительные корни, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$: $$(x^3 + 3x - 14) \div (x-2) = x^2+2x+7$$ Уравнение принимает вид: $$(x-2)(x^2+2x+7)=0$$ Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2+2x+7$: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$$ Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственным действительным решением кубического уравнения является $x=2$.
Поскольку исходное выражение $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$ является действительным числом, оно равно единственному действительному корню, то есть 2.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 2$ доказано.

Способ 2: Выделение полного куба

Попробуем представить подкоренное выражение $7+5\sqrt{2}$ в виде полного куба двучлена вида $(a+b\sqrt{2})^3$.
Раскроем куб суммы: $$(a+b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{2}) + 3a(b\sqrt{2})^2 + (b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3\sqrt{2}$$ Сгруппируем члены без корня и с корнем: $$(a+b\sqrt{2})^3 = (a^3 + 6ab^2) + (3a^2b + 2b^3)\sqrt{2}$$

Теперь приравняем это выражение к $7+5\sqrt{2}$. Рациональные и иррациональные части должны быть равны соответственно: $$\begin{cases} a^3 + 6ab^2 = 7 \\ 3a^2b + 2b^3 = 5 \end{cases}$$ Предположим, что $a$ и $b$ - целые числа. Из второго уравнения $b(3a^2 + 2b^2) = 5$ следует, что $b$ должно быть делителем числа 5, то есть $b \in \{ \pm1, \pm5 \}$.
Проверим значение $b=1$: $$\begin{cases} a^3 + 6a = 7 \\ 3a^2 + 2 = 5 \end{cases}$$ Из второго уравнения получаем $3a^2=3$, откуда $a^2=1$, то есть $a=1$ или $a=-1$.
Подставим $a=1$ в первое уравнение: $1^3 + 6(1) = 1+6 = 7$. Равенство выполняется. Следовательно, мы нашли, что $a=1$ и $b=1$.

Таким образом: $$7+5\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^3$$ Аналогично, можно проверить, что: $$7-5\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^3$$ Действительно, $(1-\sqrt{2})^3 = 1^3 - 3(1)^2(\sqrt{2}) + 3(1)(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3 = 1 - 3\sqrt{2} + 6 - 2\sqrt{2} = 7 - 5\sqrt{2}$.

Подставим найденные полные кубы в исходное выражение: $$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3}$$ $$= (1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2})$$ $$= 1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 2$$ Мы получили 2, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 2$ доказано.