Номер 120, страница 46 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 120, страница 46.

Условие.

120 (Устно.) Выяснить, является ли функция $y = x^p$ возрастающей (убывающей) при $x > 0$, если:

1) $p = 7$;

2) $p = 16$;

3) $p = -3$;

4) $p = -7$;

5) $p = -4$;

6) $p = -10$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения, является ли функция $y = x^p$ возрастающей или убывающей при $x > 0$, необходимо проанализировать знак показателя степени $p$. Характер монотонности степенной функции на промежутке $(0, +\infty)$ полностью зависит от знака ее показателя.

Общее правило, которое следует из анализа знака производной $y' = p \cdot x^{p-1}$ (при $x > 0$ знак производной совпадает со знаком $p$):

• Если $p > 0$, функция $y=x^p$ возрастает.
• Если $p < 0$, функция $y=x^p$ убывает.

Применим это правило к каждому из указанных случаев.

1) p = 7;
Поскольку показатель степени $p = 7 > 0$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

2) p = 16;
Поскольку показатель степени $p = 16 > 0$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

3) p = -3;
Поскольку показатель степени $p = -3 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

4) p = -7;
Поскольку показатель степени $p = -7 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

5) p = -4;
Поскольку показатель степени $p = -4 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

6) p = -10?
Поскольку показатель степени $p = -10 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.