Номер 124, страница 46 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 124, страница 46.

Условие.

124 Сравнить значения выражений:

1) $3,1^7$ и $4,3^7$;

2) $(\frac{10}{11})^3$ и $(\frac{12}{11})^3$;

3) $0,3^8$ и $0,2^8$;

4) $2,5^2$ и $2,6^2$;

5) $(\frac{7}{9})^{-2}$ и $(\frac{8}{10})^{-2}$;

6) $(\frac{14}{15})^{-6}$ и $(\frac{15}{16})^{-6}$;

7) $(4\sqrt{3})^{-3}$ и $(3\sqrt{4})^{-3}$;

8) $(2\sqrt[3]{6})^{-5}$ и $(6\sqrt[3]{2})^{-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравнить $3,1^7$ и $4,3^7$.

В данных выражениях показатели степени одинаковы и равны 7. Так как показатель степени — положительное число ($7 > 0$), то для положительных оснований большей будет та степень, основание которой больше.
Сравним основания: $3,1$ и $4,3$.
Поскольку $3,1 < 4,3$, то и $3,1^7 < 4,3^7$.
Ответ: $3,1^7 < 4,3^7$.

2) Сравнить $(\frac{10}{11})^3$ и $(\frac{12}{11})^3$.

Показатели степени одинаковы и равны 3. Так как показатель степени — положительное число ($3 > 0$), то большей будет та степень, основание которой больше.
Сравним основания: $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, а числитель первой дроби меньше числителя второй ($10 < 12$), то $\frac{10}{11} < \frac{12}{11}$.
Следовательно, $(\frac{10}{11})^3 < (\frac{12}{11})^3$.
Ответ: $(\frac{10}{11})^3 < (\frac{12}{11})^3$.

3) Сравнить $0,3^8$ и $0,2^8$.

Показатели степени одинаковы и равны 8. Так как показатель степени — положительное число ($8 > 0$), то для положительных оснований большей будет та степень, основание которой больше.
Сравним основания: $0,3$ и $0,2$.
Поскольку $0,3 > 0,2$, то и $0,3^8 > 0,2^8$.
Ответ: $0,3^8 > 0,2^8$.

4) Сравнить $2,5^2$ и $2,6^2$.

Показатели степени одинаковы и равны 2. Так как показатель степени — положительное число ($2 > 0$), то для положительных оснований большей будет та степень, основание которой больше.
Сравним основания: $2,5$ и $2,6$.
Поскольку $2,5 < 2,6$, то и $2,5^2 < 2,6^2$.
Ответ: $2,5^2 < 2,6^2$.

5) Сравнить $(\frac{7}{9})^{-2}$ и $(\frac{8}{10})^{-2}$.

Показатели степени одинаковы и равны -2. Так как показатель степени — отрицательное число ($-2 < 0$), то для положительных оснований большей будет та степень, основание которой меньше.
Сравним основания: $\frac{7}{9}$ и $\frac{8}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 90: $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{70}{90}$ и $\frac{8}{10} = \frac{8 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{72}{90}$.
Так как $70 < 72$, то $\frac{70}{90} < \frac{72}{90}$, следовательно $\frac{7}{9} < \frac{8}{10}$.
Поскольку показатель степени отрицательный, соотношение для степеней будет обратным.
Следовательно, $(\frac{7}{9})^{-2} > (\frac{8}{10})^{-2}$.
Ответ: $(\frac{7}{9})^{-2} > (\frac{8}{10})^{-2}$.

6) Сравнить $(\frac{14}{15})^{-6}$ и $(\frac{15}{16})^{-6}$.

Показатели степени одинаковы и равны -6. Так как показатель степени — отрицательное число ($-6 < 0$), то для положительных оснований большей будет та степень, основание которой меньше.
Сравним основания: $\frac{14}{15}$ и $\frac{15}{16}$.
Для сравнения дробей, близких к единице, можно сравнить их разность с единицей: $1 - \frac{14}{15} = \frac{1}{15}$ и $1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
Так как $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$, то дробь $\frac{14}{15}$ находится дальше от единицы (то есть меньше), чем дробь $\frac{15}{16}$.
Следовательно, $\frac{14}{15} < \frac{15}{16}$.
Поскольку показатель степени отрицательный, соотношение для степеней будет обратным.
Следовательно, $(\frac{14}{15})^{-6} > (\frac{15}{16})^{-6}$.
Ответ: $(\frac{14}{15})^{-6} > (\frac{15}{16})^{-6}$.

7) Сравнить $(4\sqrt{3})^{-3}$ и $(3\sqrt{4})^{-3}$.

Показатели степени одинаковы и равны -3. Так как показатель степени — отрицательное число ($-3 < 0$), то для положительных оснований большей будет та степень, основание которой меньше.
Сравним основания: $4\sqrt{3}$ и $3\sqrt{4}$.
Упростим второе основание: $3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$.
Теперь сравним $4\sqrt{3}$ и $6$. Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
$6^2 = 36$.
Так как $48 > 36$, то $4\sqrt{3} > 6$, а значит $4\sqrt{3} > 3\sqrt{4}$.
Поскольку показатель степени отрицательный, соотношение для степеней будет обратным.
Следовательно, $(4\sqrt{3})^{-3} < (3\sqrt{4})^{-3}$.
Ответ: $(4\sqrt{3})^{-3} < (3\sqrt{4})^{-3}$.

8) Сравнить $(2\sqrt[3]{6})^{-5}$ и $(6\sqrt[3]{2})^{-5}$.

Показатели степени одинаковы и равны -5. Так как показатель степени — отрицательное число ($-5 < 0$), то для положительных оснований большей будет та степень, основание которой меньше.
Сравним основания: $2\sqrt[3]{6}$ и $6\sqrt[3]{2}$.
Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их кубы:
$(2\sqrt[3]{6})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{6})^3 = 8 \cdot 6 = 48$.
$(6\sqrt[3]{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 216 \cdot 2 = 432$.
Так как $48 < 432$, то $2\sqrt[3]{6} < 6\sqrt[3]{2}$.
Поскольку показатель степени отрицательный, соотношение для степеней будет обратным.
Следовательно, $(2\sqrt[3]{6})^{-5} > (6\sqrt[3]{2})^{-5}$.
Ответ: $(2\sqrt[3]{6})^{-5} > (6\sqrt[3]{2})^{-5}$.