Номер 127, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 127, страница 47.

Условие.

127 Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):

1) $y = (x - 2)^7$;

2) $y = (x + 1)^6$;

3) $y = (x + 2)^{-2}$;

4) $y = (x - 1)^{-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = (x - 2)^7$

Схематический график: График функции получается из графика степенной функции $y = x^7$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Это кривая, которая похожа на кубическую параболу, но более круто возрастает. Точка перегиба находится в точке $(2, 0)$. График проходит через точки $(1, -1)$ и $(3, 1)$.

Область определения и множество значений:
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Так как показатель степени (7) нечетный, функция может принимать любые действительные значения. Множество значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Возрастание/убывание и ограниченность:
Найдем производную: $y' = 7(x-2)^6$. Поскольку $(x-2)^6 \ge 0$ для всех $x$, производная $y' \ge 0$ на всей области определения (и равна нулю только в точке $x=2$). Следовательно, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Поскольку множество значений функции — все действительные числа, функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является возрастающей на всей области определения. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

---

2) $y = (x + 1)^6$

Схематический график: График функции получается из графика степенной функции $y = x^6$ путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Это U-образная кривая, похожая на параболу, но более плоская у вершины. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$. График симметричен относительно вертикальной прямой $x = -1$.

Область определения и множество значений:
Функция является многочленом, ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Так как показатель степени (6) четный, выражение $(x+1)^6$ всегда неотрицательно. Минимальное значение равно 0 (при $x = -1$). Множество значений: $E(y) = [0, +\infty)$.

Возрастание/убывание и ограниченность:
Найдем производную: $y' = 6(x+1)^5$.

• Если $x > -1$, то $x+1 > 0$ и $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.
• Если $x < -1$, то $x+1 < 0$ и $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

Поскольку множество значений $E(y) = [0, +\infty)$, функция ограничена снизу числом 0. Сверху функция не ограничена.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y) = [0; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

---

3) $y = (x + 2)^{-2}$

Схематический график: Функцию можно записать как $y = \frac{1}{(x+2)^2}$. График получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ путем сдвига на 2 единицы влево вдоль оси Ox. График состоит из двух ветвей, расположенных выше оси Ox. Имеется вертикальная асимптота $x = -2$ и горизонтальная асимптота $y = 0$.

Область определения и множество значений:
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: $x+2=0 \implies x=-2$. Область определения: $D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.
Поскольку знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен (для $x \neq -2$), значения функции также всегда положительны. Множество значений: $E(y) = (0, +\infty)$.

Возрастание/убывание и ограниченность:
Найдем производную: $y' = -2(x+2)^{-3} = -\frac{2}{(x+2)^3}$.

• Если $x > -2$, то $(x+2)^3 > 0$ и $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-2, +\infty)$.
• Если $x < -2$, то $(x+2)^3 < 0$ и $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, -2)$.

Поскольку множество значений $E(y) = (0, +\infty)$, функция ограничена снизу (например, числом 0). Сверху функция не ограничена.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Множество значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2)$ и убывает на промежутке $(-2; +\infty)$. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

---

4) $y = (x - 1)^{-3}$

Схематический график: Функцию можно записать как $y = \frac{1}{(x-1)^3}$. График получается из графика $y = \frac{1}{x^3}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. График представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x = 1$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Одна ветвь находится в первой "четверти" (относительно асимптот), а другая — в третьей.

Область определения и множество значений:
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: $x-1=0 \implies x=1$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.
Знаменатель $(x-1)^3$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, функция может принимать любые значения, кроме нуля. Множество значений: $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Возрастание/убывание и ограниченность:
Найдем производную: $y' = -3(x-1)^{-4} = -\frac{3}{(x-1)^4}$. Знаменатель $(x-1)^4$ всегда положителен при $x \neq 1$. Числитель равен -3. Таким образом, $y' < 0$ на всей области определения. Функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения: на $(-\infty, 1)$ и на $(1, +\infty)$.
Поскольку множество значений функции $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Множество значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является убывающей на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.