Номер 126, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 126, страница 47.

Условие.

126 Найти промежутки, на которых график функции:

1) $y = x^8$;

2) $y = x^{\frac{1}{3}}$ — лежит выше (ниже) графика функции $y = x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти промежутки, на которых график одной функции $f(x)$ лежит выше (ниже) графика другой функции $g(x)$, необходимо решить неравенство $f(x) > g(x)$ (для случая "выше") или $f(x) < g(x)$ (для случая "ниже"). В данной задаче $g(x) = x$.

1) $y = x^8$

Нам нужно сравнить функцию $y=x^8$ с функцией $y=x$.

График функции $y=x^8$ лежит выше графика $y=x$, если $x^8 > x$.

Решим это неравенство:

$x^8 - x > 0$

$x(x^7 - 1) > 0$

Чтобы решить это неравенство методом интервалов, найдем корни выражения $x(x^7 - 1)$:
$x = 0$
$x^7 - 1 = 0 \implies x^7 = 1 \implies x = 1$

Отметим точки $0$ и $1$ на числовой прямой и определим знаки выражения $x(x^7 - 1)$ на получившихся интервалах: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $(-1)((-1)^7 - 1) = (-1)(-1-1) = (-1)(-2) = 2 > 0$. Неравенство выполняется.
• При $x \in (0, 1)$ (например, $x=0.5$): $0.5((0.5)^7 - 1)$. Так как $0.5 > 0$ и $(0.5)^7 - 1 < 0$, произведение будет отрицательным. Неравенство не выполняется.
• При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x=2$): $2(2^7 - 1) = 2(128 - 1) = 2 \cdot 127 = 254 > 0$. Неравенство выполняется.

Таким образом, график функции $y=x^8$ лежит выше графика $y=x$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

График функции $y=x^8$ лежит ниже графика $y=x$, если $x^8 < x$.

Это неравенство, $x^8 - x < 0$, будет выполняться на тех промежутках, где не выполнялось неравенство $x^8 - x > 0$. Из предыдущего анализа следует, что это промежуток $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y=x^8$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутках $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$; ниже — на промежутке $(0, 1)$.

2) $y = x^{\frac{1}{3}}$

Нам нужно сравнить функцию $y=x^{\frac{1}{3}}$ (или $y=\sqrt[3]{x}$) с функцией $y=x$. Область определения обеих функций — все действительные числа.

График функции $y=x^{\frac{1}{3}}$ лежит выше графика $y=x$, если $x^{\frac{1}{3}} > x$.

Для решения найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^{\frac{1}{3}} = x$.

Возведем обе части в куб:

$(x^{\frac{1}{3}})^3 = x^3$

$x = x^3$

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x-1)(x+1) = 0$

Корни уравнения: $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Проверим знак неравенства $x^{\frac{1}{3}} > x$ на каждом из них.

• При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x=-8$): $(-8)^{\frac{1}{3}} = -2$. Неравенство $-2 > -8$ верно.
• При $x \in (-1, 0)$ (например, $x=-1/8$): $(-1/8)^{\frac{1}{3}} = -1/2$. Неравенство $-1/2 > -1/8$ ложно (так как $-0.5 < -0.125$).
• При $x \in (0, 1)$ (например, $x=1/8$): $(1/8)^{\frac{1}{3}} = 1/2$. Неравенство $1/2 > 1/8$ верно.
• При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x=8$): $(8)^{\frac{1}{3}} = 2$. Неравенство $2 > 8$ ложно.

Таким образом, график функции $y=x^{\frac{1}{3}}$ лежит выше графика $y=x$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

График функции $y=x^{\frac{1}{3}}$ лежит ниже графика $y=x$, если $x^{\frac{1}{3}} < x$.

Это неравенство будет выполняться на тех промежутках, где не выполнялось предыдущее неравенство: $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: График функции $y=x^{\frac{1}{3}}$ лежит выше графика функции $y=x$ на промежутках $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$; ниже — на промежутках $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$.