Номер 125, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 125, страница 47.

Условие.

125 В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:

1) $y = x^3$ и $y = \frac{1}{x^3}$;

2) $y = x^4$ и $y = \frac{1}{x^4}$;

3) $y = x^2$ и $y = x^{-2}$;

4) $y = x^5$ и $y = x^{-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рассмотрим функции $y = x^3$ и $y = \frac{1}{x^3}$ (или $y = x^{-3}$).

Для функции $y = x^3$ (кубическая парабола):

• Область определения $D(y)$: функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: функция может принимать любые действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция нечетная, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.
  • График проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
  • Функция возрастает на всей области определения.

Для функции $y = \frac{1}{x^3}$ (обратная кубическая зависимость):

• Область определения $D(y)$: знаменатель дроби не может быть равен нулю, т.е. $x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: дробь не может быть равна нулю. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция нечетная, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = -\frac{1}{x^3} = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.
  • График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$).
  • График проходит через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, расположен в I и III координатных четвертях.

Построение графиков в одной системе координат:

Оба графика проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$. График $y=x^3$ — это кубическая парабола. График $y=\frac{1}{x^3}$ — это гипербола, ветви которой находятся в первой и третьей четвертях. При $x \in (0, 1)$ график $y=x^3$ лежит ниже графика $y=\frac{1}{x^3}$, а при $x > 1$ — выше. Аналогичная ситуация в третьей четверти с учетом симметрии.

Ответ: Для $y=x^3$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$. Для $y=\frac{1}{x^3}$: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Графики представлены на рисунке.

---

2) Рассмотрим функции $y = x^4$ и $y = \frac{1}{x^4}$ (или $y = x^{-4}$).

Для функции $y = x^4$:

• Область определения $D(y)$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: так как показатель степени четный, $x^4 \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция четная, $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
  • График проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
  • Убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.

Для функции $y = \frac{1}{x^4}$:

• Область определения $D(y)$: $x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: так как $x^4 > 0$ при $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^4} > 0$. $E(y) = (0; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция четная, $f(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
  • Асимптоты: $x=0$ (ось $Oy$) и $y=0$ (ось $Ox$).
  • График проходит через $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, расположен в I и II координатных четвертях.

Построение графиков в одной системе координат:

Оба графика проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. График $y=x^4$ похож на параболу $y=x^2$, но более "плоский" около нуля и быстрее растет при $|x|>1$. График $y=\frac{1}{x^4}$ имеет две ветви в I и II четвертях, симметричные относительно оси $Oy$. При $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ график $y=x^4$ лежит ниже графика $y=\frac{1}{x^4}$, а при $|x| > 1$ — выше.

Ответ: Для $y=x^4$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = [0; +\infty)$. Для $y=\frac{1}{x^4}$: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (0; +\infty)$. Графики представлены на рисунке.

---

3) Рассмотрим функции $y = x^2$ и $y = x^{-2}$.

Для функции $y = x^2$ (парабола):

• Область определения $D(y)$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: $x^2 \ge 0$, поэтому $E(y) = [0; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$.
  • График проходит через $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$. Вершина параболы в $(0,0)$.

Для функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$:

• Область определения $D(y)$: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, поэтому $E(y) = (0; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$.
  • Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
  • График расположен в I и II четвертях, проходит через $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Построение графиков в одной системе координат:

Ситуация очень похожа на пункт 2. Оба графика симметричны относительно оси $Oy$ и проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. График $y=x^2$ — стандартная парабола. По сравнению с $y=x^4$, она растет медленнее при $|x|>1$. График $y=x^{-2}$ также медленнее стремится к осям по сравнению с $y=x^{-4}$.

Ответ: Для $y=x^2$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = [0; +\infty)$. Для $y=x^{-2}$: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (0; +\infty)$. Графики представлены на рисунке.

---

4) Рассмотрим функции $y = x^5$ и $y = x^{-5}$.

Для функции $y = x^5$:

• Область определения $D(y)$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция нечетная, $f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.
  • График проходит через $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
  • Возрастает на всей области определения.

Для функции $y = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$:

• Область определения $D(y)$: $x^5 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений $E(y)$: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Свойства:
  • Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.
  • Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
  • График расположен в I и III четвертях, проходит через $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Построение графиков в одной системе координат:

Ситуация очень похожа на пункт 1. Оба графика нечетные и проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$. График $y=x^5$ похож на кубическую параболу, но еще более "плоский" около нуля и еще круче растет при $|x|>1$. График $y=x^{-5}$ похож на $y=x^{-3}$, но еще быстрее стремится к осям координат.

Ответ: Для $y=x^5$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$. Для $y=x^{-5}$: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Графики представлены на рисунке.