Номер 121, страница 46 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 6. Степенная функция, её свойства и график - номер 121, страница 46.

Условие.

121 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на за-

данном отрезке:

1) $y = x^4$, $x \in [-1; 2];$

2) $y = x^7$, $x \in [-2; 3];$

3) $y = x^{-1}$, $x \in [-3; -1];$

4) $y = x^{-2}$, $x \in [1; 4].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y'$.
2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю ($y' = 0$) или не существует.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить все полученные значения: самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

1) $y = x^4$, $x \in [-1; 2]$

Данная функция является степенной и непрерывна на всей числовой прямой, включая отрезок $[-1; 2]$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^4)' = 4x^3$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$4x^3 = 0 \implies x = 0$

3. Критическая точка $x = 0$ принадлежит заданному отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$:

• $y(0) = 0^4 = 0$
• $y(-1) = (-1)^4 = 1$
• $y(2) = 2^4 = 16$

5. Сравниваем полученные значения: $\{0, 1, 16\}$. Наименьшее значение равно 0, а наибольшее — 16.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 16$.

2) $y = x^7$, $x \in [-2; 3]$

Данная функция является степенной и непрерывна на всей числовой прямой, включая отрезок $[-2; 3]$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^7)' = 7x^6$

2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$7x^6 = 0 \implies x = 0$

3. Критическая точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-2; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-2$ и $x=3$:

• $y(0) = 0^7 = 0$
• $y(-2) = (-2)^7 = -128$
• $y(3) = 3^7 = 2187$

5. Сравниваем полученные значения: $\{0, -128, 2187\}$. Наименьшее значение равно -128, а наибольшее — 2187.

Замечание: Производная $y' = 7x^6 \ge 0$ для всех $x$. Это означает, что функция является неубывающей. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = -128$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 2187$.

3) $y = x^{-1}$, $x \in [-3; -1]$

Функция $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$ непрерывна на заданном отрезке $[-3; -1]$, так как точка разрыва $x=0$ не принадлежит этому отрезку.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

2. Найдем критические точки. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{1}{x^2} = 0$, не имеет решений. Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[-3; -1]$. Таким образом, на данном отрезке критических точек нет.

3. Поскольку критических точек внутри отрезка нет, наибольшее и наименьшее значения достигаются на его концах.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-3$ и $x=-1$:

• $y(-3) = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3}$
• $y(-1) = (-1)^{-1} = -1$

5. Сравниваем полученные значения: $-\frac{1}{3}$ и $-1$. Так как $-1 < -\frac{1}{3}$, наименьшее значение равно -1, а наибольшее — $-\frac{1}{3}$.

Замечание: На отрезке $[-3; -1]$ производная $y' = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательна, следовательно, функция строго убывает. Поэтому наибольшее значение достигается в левой крайней точке, а наименьшее — в правой.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = -1$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = -\frac{1}{3}$.

4) $y = x^{-2}$, $x \in [1; 4]$

Функция $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ непрерывна на заданном отрезке $[1; 4]$, так как точка разрыва $x=0$ не принадлежит этому отрезку.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^{-2})' = -2 \cdot x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

2. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{2}{x^3} = 0$, не имеет решений. Производная не существует в точке $x=0$, которая не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Следовательно, на данном отрезке критических точек нет.

3. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:

• $y(1) = 1^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$
• $y(4) = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

5. Сравниваем полученные значения: $1$ и $\frac{1}{16}$. Наименьшее значение равно $\frac{1}{16}$, а наибольшее — 1.

Замечание: На отрезке $[1; 4]$ производная $y' = -\frac{2}{x^3}$ всегда отрицательна (так как $x > 0$), следовательно, функция строго убывает. Поэтому наибольшее значение достигается в левой крайней точке, а наименьшее — в правой.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = \frac{1}{16}$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 1$.