Номер 134, страница 52 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 7. Взаимно обратные функции - номер 134, страница 52.

Условие.

134 Функция $y = f (x)$ задана графиком (рис. 21). Построить график функции, обратной к данной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции, обратной к данной, необходимо воспользоваться свойством симметрии графиков взаимно обратных функций относительно прямой $y=x$. График функции $y = f^{-1}(x)$ (обратной к $y=f(x)$) можно получить, отразив график функции $y=f(x)$ симметрично относительно прямой $y=x$.

Так как изображение графика (рис. 21) отсутствует, приведем общий алгоритм построения.

Алгоритм построения графика обратной функции:

1. В системе координат, где находится график функции $y=f(x)$, постройте вспомогательную прямую $y=x$. Эта прямая проходит через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ox.
2. Выберите на исходном графике $y=f(x)$ несколько ключевых точек. Это могут быть точки пересечения с осями, точки локальных экстремумов, концы отрезков графика. Пусть координаты одной из таких точек $(a, b)$.
3. Для каждой выбранной точки $(a, b)$ найдите координаты симметричной ей точки относительно прямой $y=x$. Для этого нужно поменять местами ее абсциссу и ординату. Новая точка будет иметь координаты $(b, a)$.
4. Отметьте все полученные точки $(b, a)$ в той же системе координат.
5. Соедините новые точки плавной линией, повторяя форму исходного графика. Получившаяся кривая будет являться графиком обратной функции $y = f^{-1}(x)$.

Также следует помнить, что область определения исходной функции становится областью значений для обратной, а область значений исходной функции — областью определения для обратной:

• Область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = E(f)$.
• Область значений обратной функции: $E(f^{-1}) = D(f)$.

Пример:
Предположим, что график функции $y=f(x)$ проходит через точки $A(-4, -2)$ и $B(2, 4)$.
Чтобы построить соответствующий участок графика обратной функции, нужно:

1. Взять точку $A(-4, -2)$. Симметричная ей точка будет $A'(-2, -4)$.
2. Взять точку $B(2, 4)$. Симметричная ей точка будет $B'(4, 2)$.
3. Соединить точки $A'$ и $B'$, получив фрагмент графика обратной функции.

Применив этот алгоритм к конкретным точкам графика на вашем рисунке 21, вы сможете построить график обратной функции.

Ответ: Для построения графика обратной функции необходимо отразить график исходной функции симметрично относительно прямой $y=x$. Поскольку график из условия (рис. 21) не предоставлен, построение для конкретного случая невозможно. Выше изложен общий метод решения задачи.