Номер 141, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 141, страница 59.

Условие.

141 Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:

1) $x - 3 = 0$ и $x^2 - 5x + 6 = 0$;

2) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$ и $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы установить, какое из двух уравнений является следствием другого, необходимо найти множества решений каждого уравнения и сравнить их. Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если множество решений уравнения (А) является подмножеством множества решений уравнения (Б).

Рассмотрим пару уравнений: $x - 3 = 0$ и $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим первое уравнение: $x - 3 = 0$ $x = 3$ Множество решений первого уравнения: $\{3\}$.

Решим второе уравнение, $x^2 - 5x + 6 = 0$. Это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$ Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$ Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Множество решений второго уравнения: $\{2, 3\}$.

Сравниваем множества решений. Множество $\{3\}$ является подмножеством множества $\{2, 3\}$, так как каждый элемент первого множества (число 3) также является элементом второго множества. Обратное неверно, так как $2$ является корнем второго уравнения, но не является корнем первого.

Таким образом, уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ является следствием уравнения $x - 3 = 0$.

Ответ: уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ является следствием уравнения $x - 3 = 0$.

2) Рассмотрим пару уравнений: $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$ и $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Решим первое уравнение. Дробно-рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это эквивалентно системе: $\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета: Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3$ Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$ Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Теперь учтем условие $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Исключаем корень $x=1$ из найденных решений. Остается единственный корень $x = 2$. Множество решений первого уравнения: $\{2\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 3x + 2 = 0$. Мы уже нашли его корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Множество решений второго уравнения: $\{1, 2\}$.

Сравниваем множества решений. Множество $\{2\}$ является подмножеством множества $\{1, 2\}$. Обратное неверно, так как $1$ является корнем второго уравнения, но не является корнем первого (из-за области допустимых значений).

Следовательно, уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$.

Ответ: уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$.