Номер 142, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 142, страница 59.

Условие.

142 Решить уравнение:

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4x}{x^2-1}$;

2) $\frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}$;

3) $(x-3)(x-5) = 3(x-5);$

4) $(x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4x}{x^2-1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства нулю знаменателей: $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$ и $x \neq 1$.
Заметим, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, это общий знаменатель для всех дробей в уравнении. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{x^2-1}$
$\frac{x^2 - x + 2x^2 + 2x}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1}$
Теперь мы можем приравнять числители, так как знаменатели равны (учитывая ОДЗ):
$x^2 - x + 2x^2 + 2x = 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + x = 4x$
$3x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x-1) = 0$
Это уравнение имеет два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq \pm 1$).
Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет только одно решение.
Ответ: 0

2) Исходное уравнение: $\frac{x-1}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}$.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq 0$.
Перенесем члены с одинаковыми знаменателями в одну сторону уравнения:
$\frac{x-1}{x-2} - \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x}$
Упростим левую часть:
$\frac{(x-1)-1}{x-2} = \frac{2}{x}$
$\frac{x-2}{x-2} = \frac{2}{x}$
Поскольку $x \neq 2$ (согласно ОДЗ), дробь $\frac{x-2}{x-2}$ равна 1. Уравнение принимает вид:
$1 = \frac{2}{x}$
Отсюда находим $x=2$.
Проверим найденный корень на соответствие ОДЗ. Значение $x=2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x-2$ обращается в ноль.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: решений нет

3) Исходное уравнение: $(x-3)(x-5) = 3(x-5)$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$(x-3)(x-5) - 3(x-5) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки:
$(x-5)((x-3) - 3) = 0$
$(x-5)(x-6) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$
$x-6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$
Данное уравнение не имеет ограничений на ОДЗ, поэтому оба корня являются решениями.
Ответ: 5; 6

4) Исходное уравнение: $(x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1)$.
Заметим, что выражение $x^2+1$ всегда строго положительно для любого действительного числа $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$).
Поскольку $x^2+1 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на этот множитель:
$\frac{(x-2)(x^2+1)}{x^2+1} = \frac{2(x^2+1)}{x^2+1}$
$x-2 = 2$
$x = 4$
Данное уравнение не имеет ограничений на ОДЗ.
Ответ: 4