Номер 149, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 149, страница 59.

Условие.

149 Решить неравенство:

1) $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2;$

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2$

Для решения неравенства перенесем все его члены в левую часть:

$(x^3 - 2x^3) + (-3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-6 + 2) > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^3 - 2x^2 - 2x - 4 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^3 + 2x^2 + 2x + 4 < 0$

Разложим левую часть неравенства на множители методом группировки:

$(x^3 + 2x^2) + (2x + 4) < 0$

$x^2(x + 2) + 2(x + 2) < 0$

$(x^2 + 2)(x + 2) < 0$

Проанализируем полученное выражение. Множитель $(x^2 + 2)$ всегда положителен при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2 + 2 \ge 2$.

Поскольку множитель $(x^2 + 2)$ не влияет на знак неравенства, мы можем его отбросить, оставив неравенство:

$x + 2 < 0$

Решая это простое линейное неравенство, получаем:

$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4$

Сначала перенесем все члены из правой части в левую:

$(x^3 + 3x^3) + (-3x^2 - x^2) + (-4x - 12x) + (12 + 4) > 0$

Приведем подобные члены:

$4x^3 - 4x^2 - 16x + 16 > 0$

Разделим обе части неравенства на общий множитель $4$, что не изменит знака неравенства:

$x^3 - x^2 - 4x + 4 > 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(x^3 - x^2) - (4x - 4) > 0$

$x^2(x - 1) - 4(x - 1) > 0$

$(x^2 - 4)(x - 1) > 0$

Используем формулу разности квадратов для множителя $(x^2 - 4)$:

$(x - 2)(x + 2)(x - 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни многочлена, приравняв его к нулю. Корни уравнения $(x - 2)(x + 2)(x - 1) = 0$ равны $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.

Эти корни разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 2)(x + 2)(x - 1)$ в каждом из интервалов. Так как старший коэффициент многочлена положителен, в крайнем правом интервале $(2, +\infty)$ выражение будет положительным. Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), знак будет чередоваться при переходе через каждый корень. Таким образом, знаки по интервалам распределяются следующим образом: плюс на $(2, +\infty)$, минус на $(1, 2)$, плюс на $(-2, 1)$, минус на $(-\infty, -2)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (положительно). Это интервалы $(-2, 1)$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 1) \cup (2, +\infty)$.