Номер 154, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 154, страница 62.

Условие.

154 1) $x+1 = \sqrt{1-x}$;

2) $x = 1+\sqrt{x+11}$;

3) $\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}$;

4) $\sqrt{x^2-x-3}=3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x + 1 = \sqrt{1 - x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и так как квадратный корень по определению неотрицателен, левая часть уравнения также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(x+1)^2 = (\sqrt{1-x})^2$

$x^2 + 2x + 1 = 1 - x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$x^2 + 2x + x + 1 - 1 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ:

• $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, является корнем уравнения.
• $x_2 = -3$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $0$

2) $x = 1 + \sqrt{x + 11}$

Сначала изолируем радикал:

$x - 1 = \sqrt{x + 11}$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем и левая часть уравнения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x + 11 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Возведем обе части уравнения $x - 1 = \sqrt{x + 11}$ в квадрат:

$(x - 1)^2 = (\sqrt{x + 11})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x + 11$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - x + 1 - 11 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, произведение равно -10. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ:

• $x_1 = 5$ принадлежит промежутку $[1; +\infty)$, следовательно, является корнем уравнения.
• $x_2 = -2$ не принадлежит промежутку $[1; +\infty)$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $5$

3) $\sqrt{x + 3} = \sqrt{5 - x}$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3; 5]$.

Так как обе части уравнения неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (\sqrt{5 - x})^2$

$x + 3 = 5 - x$

Решим полученное линейное уравнение:

$x + x = 5 - 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Проверим корень на принадлежность ОДЗ: $x = 1$ принадлежит отрезку $[-3; 5]$.

Ответ: $1$

4) $\sqrt{x^2 - x - 3} = 3$

ОДЗ определяется условием $x^2 - x - 3 \ge 0$. Поскольку правая часть уравнения ($3$) положительна, то после возведения в квадрат мы получим $x^2 - x - 3 = 9$, что автоматически удовлетворяет условию $x^2 - x - 3 \ge 0$. Поэтому в данном случае отдельное нахождение ОДЗ не обязательно, достаточно выполнить проверку найденных корней.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - x - 3})^2 = 3^2$

$x^2 - x - 3 = 9$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -12. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для $x_1 = 4$: $\sqrt{4^2 - 4 - 3} = \sqrt{16 - 4 - 3} = \sqrt{9} = 3$. Верно.
• Для $x_2 = -3$: $\sqrt{(-3)^2 - (-3) - 3} = \sqrt{9 + 3 - 3} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-3; 4$