Номер 158, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 158, страница 63.

Условие.

158 1) $\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x} = 2;$

2) $\sqrt{12 + x} - \sqrt{1 - x} = 1;$

3) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 0;$

4) $\sqrt{x + 7} + \sqrt{x - 2} = 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 5-x \ge 0 \\ 5+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge -5 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-5; 5]$.

Заметим, что левая часть уравнения $\sqrt{5-x} - \sqrt{5+x}$ положительна, следовательно, $\sqrt{5-x} > \sqrt{5+x}$. Так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $5-x > 5+x$, что приводит к $2x < 0$, то есть $x < 0$. Таким образом, корень уравнения, если он существует, должен лежать в промежутке $[-5; 0)$.

Перенесем $\sqrt{5+x}$ в правую часть уравнения, чтобы уединить один из радикалов:
$\sqrt{5-x} = 2 + \sqrt{5+x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5-x})^2 = (2 + \sqrt{5+x})^2$
$5-x = 4 + 4\sqrt{5+x} + (5+x)$
$5-x = 9 + x + 4\sqrt{5+x}$

Снова уединим радикал:
$5-x - 9 - x = 4\sqrt{5+x}$
$-4 - 2x = 4\sqrt{5+x}$
Разделим обе части на 2:
$-2 - x = 2\sqrt{5+x}$

Так как правая часть $2\sqrt{5+x}$ неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $-2 - x \ge 0$, откуда $x \le -2$. С учетом ОДЗ и предыдущего условия ($x<0$), получаем, что корень должен лежать в промежутке $[-5; -2]$.

Возведем обе части уравнения $-2 - x = 2\sqrt{5+x}$ в квадрат:
$(-2-x)^2 = (2\sqrt{5+x})^2$
$4 + 4x + x^2 = 4(5+x)$
$x^2 + 4x + 4 = 20 + 4x$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Проверим найденные корни. Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le -2$, значит, это посторонний корень. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x \in [-5; -2]$. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{5 - (-4)} - \sqrt{5 + (-4)} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.
$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $-4$

2) $\sqrt{12+x} - \sqrt{1-x} = 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 12+x \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -12 \\ x \le 1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-12; 1]$.

Перенесем $\sqrt{1-x}$ в правую часть:
$\sqrt{12+x} = 1 + \sqrt{1-x}$

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{12+x})^2 = (1 + \sqrt{1-x})^2$
$12+x = 1 + 2\sqrt{1-x} + (1-x)$
$12+x = 2 - x + 2\sqrt{1-x}$

Уединим радикал:
$12+x - 2 + x = 2\sqrt{1-x}$
$10 + 2x = 2\sqrt{1-x}$
$5 + x = \sqrt{1-x}$

Левая часть $5+x$ должна быть неотрицательной: $5+x \ge 0 \implies x \ge -5$. С учетом ОДЗ, получаем новое ограничение: $x \in [-5; 1]$.

Возведем в квадрат обе части уравнения $5 + x = \sqrt{1-x}$:
$(5+x)^2 = (\sqrt{1-x})^2$
$25 + 10x + x^2 = 1 - x$
$x^2 + 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -11$
$x_1 \cdot x_2 = 24$
Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -8$.

Проверим корни. Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $x \ge -5$, значит, это посторонний корень. Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет условию $x \in [-5; 1]$. Проверим его подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{12 + (-3)} - \sqrt{1 - (-3)} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$.
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $-3$

3) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -6 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 2$.

Выражение $\sqrt{a}$ по определению арифметического квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{a} \ge 0$).
В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых: $\sqrt{x-2} \ge 0$ и $\sqrt{x+6} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю.
$\begin{cases} \sqrt{x-2} = 0 \\ \sqrt{x+6} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x-2 = 0 \\ x+6 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 \\ x = -6 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как $x$ не может одновременно быть равным 2 и -6.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет

4) $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 2$.

Уединим один из радикалов:
$\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}$

Возведем обе части в квадрат. Так как $x \ge 2$, то $\sqrt{x-2} \ge 0$, и правая часть $9 - \sqrt{x-2}$ будет положительна, если $9 > \sqrt{x-2}$, то есть $81 > x-2$, $x < 83$.
$(\sqrt{x+7})^2 = (9 - \sqrt{x-2})^2$
$x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + (x-2)$
$x+7 = 79 + x - 18\sqrt{x-2}$

Уединим оставшийся радикал:
$x+7 - 79 - x = -18\sqrt{x-2}$
$-72 = -18\sqrt{x-2}$

Разделим обе части на -18:
$4 = \sqrt{x-2}$

Возведем обе части в квадрат:
$16 = x-2$
$x = 18$

Найденный корень $x=18$ удовлетворяет ОДЗ ($18 \ge 2$) и дополнительному условию ($18 < 83$). Выполним проверку:
$\sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9$.
$9 = 9$. Равенство верное.

Ответ: $18$