Номер 159, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 159, страница 63.

Условие.

159 1) $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$;

2) $\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$1 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le 0.5$
$13 + x \ge 0 \implies x \ge -13$
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$

Пересечение этих условий дает $x \in [-4, 0.5]$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы при возведении в квадрат было меньше слагаемых:

$\sqrt{1-2x} = \sqrt{x+4} + \sqrt{13+x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1-2x})^2 = (\sqrt{x+4} + \sqrt{13+x})^2$

$1-2x = (x+4) + 2\sqrt{(x+4)(13+x)} + (13+x)$

Приведем подобные слагаемые:

$1-2x = 2x + 17 + 2\sqrt{x^2+17x+52}$

Уединим оставшийся радикал в одной части уравнения:

$1-2x - 2x - 17 = 2\sqrt{x^2+17x+52}$

$-4x - 16 = 2\sqrt{x^2+17x+52}$

Разделим обе части на 2:

$-2x - 8 = \sqrt{x^2+17x+52}$

Для того чтобы следующее возведение в квадрат было равносильным преобразованием, левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как корень в правой части всегда неотрицателен. Получаем дополнительное условие:

$-2x - 8 \ge 0 \implies -2x \ge 8 \implies x \le -4$

С учетом ОДЗ ($x \in [-4, 0.5]$) и этого нового условия ($x \le -4$), получаем, что единственным возможным решением может быть $x = -4$.

Продолжим решение, возведя обе части уравнения $-2x - 8 = \sqrt{x^2+17x+52}$ в квадрат:

$(-2x-8)^2 = x^2+17x+52$

$4x^2 + 32x + 64 = x^2+17x+52$

$3x^2 + 15x + 12 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 5x + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие всем условиям. У нас было условие $x \le -4$.

Корень $x_1 = -4$ удовлетворяет этому условию.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \le -4$, следовательно, это посторонний корень.

Проверим единственный подходящий корень $x=-4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{1-2(-4)} - \sqrt{13-4} = \sqrt{-4+4}$

$\sqrt{9} - \sqrt{9} = \sqrt{0}$

$3 - 3 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, $x=-4$ является решением.

Ответ: -4

2)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$7x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/7$
$6-x \ge 0 \implies x \le 6$
$15+2x \ge 0 \implies x \ge -7.5$

Пересечение этих условий дает $x \in [-1/7, 6]$.

Также левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как правая часть ($\sqrt{15+2x}$) неотрицательна:

$\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} \ge 0 \implies \sqrt{7x+1} \ge \sqrt{6-x} \implies 7x+1 \ge 6-x \implies 8x \ge 5 \implies x \ge 5/8$.

Итоговая ОДЗ с учетом всех ограничений: $x \in [5/8, 6]$.

Перенесем корень в правую часть уравнения:

$\sqrt{7x+1} = \sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{7x+1})^2 = (\sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x})^2$

$7x+1 = (15+2x) + 2\sqrt{(15+2x)(6-x)} + (6-x)$

$7x+1 = x + 21 + 2\sqrt{-2x^2 +12x -15x + 90}$

$7x+1 = x + 21 + 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Уединим радикал:

$6x - 20 = 2\sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Разделим обе части на 2:

$3x - 10 = \sqrt{-2x^2 - 3x + 90}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $3x-10 \ge 0$, откуда $x \ge 10/3$.

С учетом ОДЗ ($x \in [5/8, 6]$), получаем новое, более строгое ограничение для $x$: $x \in [10/3, 6]$.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$(3x-10)^2 = -2x^2 - 3x + 90$

$9x^2 - 60x + 100 = -2x^2 - 3x + 90$

$11x^2 - 57x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4(11)(10) = 3249 - 440 = 2809 = 53^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 \pm 53}{22}$

$x_1 = \frac{57+53}{22} = \frac{110}{22} = 5$

$x_2 = \frac{57-53}{22} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \in [10/3, 6]$.

Корень $x_1=5$ удовлетворяет условию, так как $10/3 \approx 3.33$ и $5 \in [10/3, 6]$.

Корень $x_2=2/11 \approx 0.18$ не удовлетворяет условию $x \ge 10/3$, поэтому является посторонним.

Выполним проверку для $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{7(5)+1} - \sqrt{6-5} = \sqrt{15+2(5)}$

$\sqrt{36} - \sqrt{1} = \sqrt{25}$

$6 - 1 = 5$

$5 = 5$

Равенство верное, значит $x=5$ является решением.

Ответ: 5