Номер 152, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 152, страница 62.

Условие.

Решить уравнение (152–161).

152 1) $\sqrt{x+1} = 3$; 2) $\sqrt{x-2} = 5$; 3) $\sqrt{4+x} = \sqrt{2x-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x+1} = 3$.

Для решения уравнения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это условие определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$x+1 \ge 0$

$x \ge -1$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня:

$(\sqrt{x+1})^2 = 3^2$

$x+1 = 9$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 9 - 1$

$x = 8$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=8$ области допустимых значений. Так как $8 \ge -1$, корень подходит.

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $8$.

2)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x-2} = 5$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x-2 \ge 0$

$x \ge 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = 5^2$

$x-2 = 25$

Найдем $x$, перенеся -2 в правую часть:

$x = 25 + 2$

$x = 27$

Проверим, принадлежит ли корень $x=27$ области допустимых значений. Условие $27 \ge 2$ выполняется.

Подставим корень в исходное уравнение для проверки:

$\sqrt{27-2} = \sqrt{25} = 5$

$5 = 5$

Равенство верное, решение найдено правильно.

Ответ: $27$.

3)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{4+x} = \sqrt{2x-1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств, так как оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 4+x \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x \ge -4 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 0.5 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge 0.5$. Это и есть ОДЗ.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4+x})^2 = (\sqrt{2x-1})^2$

$4+x = 2x-1$

Соберем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а константы — в другой:

$4+1 = 2x - x$

$5 = x$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=5$ ОДЗ. Условие $5 \ge 0.5$ выполняется.

Подставим найденное значение в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$

Правая часть: $\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, решение правильное.

Ответ: $5$.