Номер 150, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 150, страница 59.

Условие.

150 Доказать, что если каждая из функций $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ определена на множестве $X$ и $\varphi(x) \neq 0$ для всех $x \in X$, то уравнения

$f(x) = g(x)$ и $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$

равносильны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что уравнения $f(x) = g(x)$ и $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$ равносильны, необходимо показать, что множества их решений на заданном множестве $X$ совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и любой корень второго уравнения является корнем первого.

Доказательство проведем в два этапа.

1. Покажем, что любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ является корнем уравнения $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$.

Пусть $x_0$ — произвольный корень первого уравнения. Это означает, что $x_0 \in X$ и для него выполняется числовое равенство $f(x_0) = g(x_0)$.
Поскольку по условию функция $\varphi(x)$ определена на множестве $X$, мы можем умножить обе части верного равенства на число $\varphi(x_0)$. Такое преобразование является тождественным и сохраняет верность равенства. $$f(x_0) \cdot \varphi(x_0) = g(x_0) \cdot \varphi(x_0)$$ Полученное равенство означает, что $x_0$ является корнем второго уравнения. Таким образом, любое решение первого уравнения является решением второго.

2. Покажем, что любой корень уравнения $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$.

Пусть $x_0$ — произвольный корень второго уравнения. Это означает, что $x_0 \in X$ и для него выполняется равенство $f(x_0) \cdot \varphi(x_0) = g(x_0) \cdot \varphi(x_0)$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$f(x_0) \cdot \varphi(x_0) - g(x_0) \cdot \varphi(x_0) = 0$$ Вынесем общий множитель $\varphi(x_0)$ за скобки: $$(f(x_0) - g(x_0)) \cdot \varphi(x_0) = 0$$ По условию задачи, для всех $x \in X$ выполняется $\varphi(x) \neq 0$. Следовательно, и $\varphi(x_0) \neq 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Так как мы установили, что множитель $\varphi(x_0)$ не равен нулю, то равенство может выполняться только в том случае, если первый множитель равен нулю: $$f(x_0) - g(x_0) = 0$$ Отсюда следует, что $f(x_0) = g(x_0)$. Это означает, что $x_0$ является корнем первого уравнения. Таким образом, любое решение второго уравнения является решением первого.

Поскольку мы доказали, что множества решений обоих уравнений полностью совпадают, то данные уравнения равносильны на множестве $X$.

Ответ: Утверждение доказано.