Номер 144, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 144, страница 59.

Условие.

Выяснить, равносильны ли уравнения (144–145).

144 1) $|2x - 1| = 3$ и $2x - 1 = 3$;

2) $\frac{3x-2}{3} - \frac{4-x}{2} - \frac{3x-5}{6} = 2x-2$ и $2x + 3 = \frac{10}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) совпадают. Для ответа на вопрос необходимо найти корни каждого уравнения и сравнить их.
Решим первое уравнение: $|2x - 1| = 3$.
По определению модуля, это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
$2x - 1 = 3$ или $2x - 1 = -3$.
Решая первое уравнение из совокупности, получаем:
$2x = 3 + 1$
$2x = 4$
$x_1 = 2$
Решая второе уравнение, получаем:
$2x = -3 + 1$
$2x = -2$
$x_2 = -1$
Таким образом, множество решений первого уравнения: $\{-1; 2\}$.

Решим второе уравнение: $2x - 1 = 3$.
$2x = 3 + 1$
$2x = 4$
$x = 2$
Множество решений второго уравнения: $\{2\}$.

Сравниваем множества решений: $\{-1; 2\}$ и $\{2\}$. Поскольку множества не совпадают, данные уравнения не являются равносильными.
Ответ: не равносильны.

2) Найдем решения каждого уравнения, чтобы определить, равносильны ли они.
Решим первое уравнение: $\frac{3x-2}{3} - \frac{4-x}{2} - \frac{3x-5}{6} = 2x-2$.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (3, 2 и 6), который равен 6, чтобы избавиться от дробей:
$6 \cdot \frac{3x-2}{3} - 6 \cdot \frac{4-x}{2} - 6 \cdot \frac{3x-5}{6} = 6 \cdot (2x-2)$
$2(3x-2) - 3(4-x) - (3x-5) = 12x - 12$
Раскроем скобки:
$6x - 4 - 12 + 3x - 3x + 5 = 12x - 12$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(6x + 3x - 3x) + (-4 - 12 + 5) = 12x - 12$
$6x - 11 = 12x - 12$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$12 - 11 = 12x - 6x$
$1 = 6x$
$x = \frac{1}{6}$
Решением первого уравнения является $x = \frac{1}{6}$.

Решим второе уравнение: $2x+3 = \frac{10}{3}$.
$2x = \frac{10}{3} - 3$
Приведем 3 к знаменателю 3: $3 = \frac{9}{3}$.
$2x = \frac{10}{3} - \frac{9}{3}$
$2x = \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{3 \cdot 2}$
$x = \frac{1}{6}$
Решением второго уравнения также является $x = \frac{1}{6}$.

Поскольку оба уравнения имеют один и тот же корень $x = \frac{1}{6}$, их множества решений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.