Номер 138, страница 58 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 138, страница 58.

Условие.

138 Решить уравнение:

1) $(x + 7) \cdot 3 = 2x + 14;$

2) $x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4};$

3) $\frac{x - 2}{x^2 - 1} = \frac{1 - 2x}{x^2 - 1};$

4) $\frac{5x - 15}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $(x + 7) \cdot 3 = 2x + 14$.
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член в скобках на 3: $3 \cdot x + 3 \cdot 7 = 2x + 14$ $3x + 21 = 2x + 14$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой. Для этого вычтем $2x$ из обеих частей и вычтем 21 из обеих частей: $3x - 2x = 14 - 21$
Приведем подобные слагаемые: $x = -7$
Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение: $(-7 + 7) \cdot 3 = 2(-7) + 14$ $0 \cdot 3 = -14 + 14$ $0 = 0$
Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.
Ответ: $-7$.

2) Исходное уравнение: $x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Так как в уравнении присутствует дробь, ее знаменатель не может быть равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$ $x^2 \neq 4$ $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Заметим, что в левой и правой частях уравнения находится одинаковое слагаемое $\frac{1}{x^2 - 4}$. Мы можем вычесть это слагаемое из обеих частей уравнения: $x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4} = 4 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4}$
После упрощения получаем уравнение: $x^2 = 4$
Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Однако, согласно ОДЗ, значения $x=2$ и $x=-2$ являются недопустимыми. Таким образом, найденные корни являются посторонними.
Ответ: нет корней.

3) Исходное уравнение: $\frac{x-2}{x^2-1} = \frac{1-2x}{x^2-1}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель дробей не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0$ $x^2 \neq 1$ $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения одинаковы и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять их числители: $x - 2 = 1 - 2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую: $x + 2x = 1 + 2$
Приведем подобные слагаемые: $3x = 3$
Разделим обе части на 3: $x = 1$
Теперь сравним полученный корень с ОДЗ. Мы установили, что $x \neq 1$. Следовательно, найденное значение $x=1$ является посторонним корнем.
Ответ: нет корней.

4) Исходное уравнение: $\frac{5x-15}{(x-3)(x+2)} = \frac{2}{x+2}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатели дробей не должны обращаться в нуль: $(x-3)(x+2) \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Из первого условия следует, что $x-3 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Таким образом, $x \neq 3$ и $x \neq -2$.
Преобразуем числитель дроби в левой части, вынеся общий множитель 5 за скобки: $5x - 15 = 5(x-3)$
Подставим это выражение в уравнение: $\frac{5(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{2}{x+2}$
Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь в левой части на множитель $(x-3)$: $\frac{5}{x+2} = \frac{2}{x+2}$
Перенесем дробь из правой части в левую: $\frac{5}{x+2} - \frac{2}{x+2} = 0$
$\frac{5-2}{x+2} = 0$
$\frac{3}{x+2} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 3, что никогда не равно нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.