Номер 135, страница 52 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 7. Взаимно обратные функции - номер 135, страница 52.

Условие.

135 Являются ли взаимно обратными функции:

1) $y = -x^3$ и $y = -\sqrt[3]{x}$;

2) $y = -x^5$ и $y = \sqrt[5]{x}$;

3) $y = x^{-3}$ и $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

4) $y = \sqrt[5]{x^3}$ и $y = x\sqrt[3]{x^2}$ ?

а) б) в) г) Рис. 21

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, являются ли две функции $f(x)$ и $g(x)$ взаимно обратными, нужно найти функцию, обратную к $f(x)$, и сравнить ее с $g(x)$. Функция, обратная к $y=f(x)$, находится путем выражения $x$ через $y$ и последующей замены переменных $x$ и $y$ местами.

1) $y = -x^3$ и $y = -\sqrt[3]{x}$

Пусть $f(x) = -x^3$. Найдем обратную ей функцию. Для этого в уравнении $y = -x^3$ выразим $x$ через $y$:

$x^3 = -y$

$x = \sqrt[3]{-y} = -\sqrt[3]{y}$

Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить уравнение обратной функции:

$y = -\sqrt[3]{x}$

Полученная функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: Да, являются.

2) $y = -x^5$ и $y = \sqrt[5]{x}$

Пусть $f(x) = -x^5$. Найдем обратную ей функцию. В уравнении $y = -x^5$ выразим $x$ через $y$:

$x^5 = -y$

$x = \sqrt[5]{-y} = -\sqrt[5]{y}$

Заменяем переменные:

$y = -\sqrt[5]{x}$

Полученная функция $y = -\sqrt[5]{x}$ не совпадает со второй данной функцией $y = \sqrt[5]{x}$ (кроме точки $x=0$). Следовательно, функции не являются взаимно обратными.

Ответ: Нет, не являются.

3) $y = x^{-3}$ и $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Пусть $f(x) = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Найдем обратную ей функцию. В уравнении $y = \frac{1}{x^3}$ выразим $x$ через $y$:

$x^3 = \frac{1}{y}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$

Заменяем переменные:

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Полученная функция совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: Да, являются.

4) $y = \sqrt[5]{x^3}$ и $y = x \sqrt[3]{x^2}$

Представим функции в виде степеней: $f(x) = \sqrt[5]{x^3} = x^{3/5}$ и $g(x) = x \sqrt[3]{x^2} = x^1 \cdot x^{2/3} = x^{1+2/3} = x^{5/3}$.

Найдем функцию, обратную к $f(x) = x^{3/5}$. В уравнении $y = x^{3/5}$ выразим $x$ через $y$, возведя обе части в степень $5/3$:

$y^{5/3} = (x^{3/5})^{5/3}$

$y^{5/3} = x$

Заменяем переменные:

$y = x^{5/3}$

Полученная функция $y = x^{5/3}$ совпадает с функцией $g(x)$. Следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: Да, являются.

Хотя явного вопроса к графикам нет, в качестве дополнительного задания определим для каждой функции $y=f(x)$, представленной на рисунках, ее аналитическое выражение (формулу) и найдем обратную к ней функцию $y=f^{-1}(x)$.

а)

График функции $y=f(x)$ проходит через точки $(-1, 5)$, $(0, 2)$ и $(1, 1)$. Можно предположить, что это часть параболы. Проверим функцию $f(x) = x^2 - 2x + 2$.

$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$.

$f(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$.

$f(1) = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.

Все точки совпадают. Область определения по графику $D(f) = [-1, 1]$. На этом интервале функция монотонно убывает, значит, обратная функция существует. Область значений $E(f) = [1, 5]$.

Найдем обратную функцию. $y = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$. Выразим $x$:

$y-1 = (x-1)^2$

$\sqrt{y-1} = |x-1|$. Так как $x \in [-1, 1]$, то $x-1 \le 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

$\sqrt{y-1} = 1-x \implies x = 1 - \sqrt{y-1}$.

Заменяя переменные, получаем $f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x-1}$.

Ответ: Формула для функции на графике: $f(x) = x^2 - 2x + 2$ с областью определения $D(f)=[-1, 1]$. Обратная функция: $f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x-1}$ с областью определения $D(f^{-1})=[1, 5]$.

б)

График функции $y=f(x)$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Это характерно для показательной функции $f(x) = 2^x$.

Область определения по графику $D(f) = [-2, 1]$. На этом интервале функция монотонно возрастает. Область значений $E(f) = [2^{-2}, 2^1] = [1/4, 2]$.

Найдем обратную функцию. Из $y=2^x$ следует $x = \log_2 y$.

Заменяя переменные, получаем $f^{-1}(x) = \log_2 x$.

Ответ: Формула для функции на графике: $f(x) = 2^x$ с областью определения $D(f)=[-2, 1]$. Обратная функция: $f^{-1}(x) = \log_2 x$ с областью определения $D(f^{-1})=[1/4, 2]$.

в)

График функции $y=f(x)$ проходит через точки $(-2, 4)$, $(0, 1)$ и $(2, 1/4)$. Это характерно для показательной функции $f(x) = (1/2)^x = 2^{-x}$.

$f(-2) = (1/2)^{-2} = 4$; $f(0) = (1/2)^0 = 1$; $f(2) = (1/2)^2 = 1/4$.

Точки совпадают. Область определения $D(f) = [-2, 2]$. Функция монотонно убывает. Область значений $E(f) = [(1/2)^2, (1/2)^{-2}] = [1/4, 4]$.

Найдем обратную функцию. Из $y = (1/2)^x$ следует $x = \log_{1/2} y$.

Заменяя переменные, получаем $f^{-1}(x) = \log_{1/2} x$.

Ответ: Формула для функции на графике: $f(x) = (1/2)^x$ с областью определения $D(f)=[-2, 2]$. Обратная функция: $f^{-1}(x) = \log_{1/2} x$ с областью определения $D(f^{-1})=[1/4, 4]$.

г)

График функции $y=f(x)$ проходит через точки $(-2, 0)$, $(-1, 1)$ и $(0, 4)$. Это похоже на ветвь параболы с вершиной в точке $(-2, 0)$. Проверим функцию $f(x) = (x+2)^2$.

$f(-2) = (-2+2)^2 = 0$; $f(-1) = (-1+2)^2 = 1$; $f(0) = (0+2)^2 = 4$.

Точки совпадают. Область определения $D(f) = [-2, 0]$. Функция монотонно возрастает. Область значений $E(f) = [0, 4]$.

Найдем обратную функцию. $y = (x+2)^2$. Выразим $x$:

$\sqrt{y} = |x+2|$. Так как $x \in [-2, 0]$, то $x+2 \ge 0$, поэтому $|x+2| = x+2$.

$\sqrt{y} = x+2 \implies x = \sqrt{y} - 2$.

Заменяя переменные, получаем $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 2$.

Ответ: Формула для функции на графике: $f(x) = (x+2)^2$ с областью определения $D(f)=[-2, 0]$. Обратная функция: $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 2$ с областью определения $D(f^{-1})=[0, 4]$.