Номер 136, страница 53 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 7. Взаимно обратные функции - номер 136, страница 53.

Условие.

136 Найти функцию, обратную к данной:

1) $y = -x^{\frac{1}{2}}$;

2) $y = -x^{\frac{3}{5}}$;

3) $y = x^{\frac{3}{2}}$;

4) $y = -x^{\frac{1}{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $y = -x^{\frac{1}{2}}$. Это выражение эквивалентно $y = -\sqrt{x}$.

Для нахождения обратной функции необходимо выполнить следующие шаги:
1. Определить область определения и область значений исходной функции. Для $y = -\sqrt{x}$, область определения $D(y)$ — это все $x$, для которых выражение под корнем неотрицательно, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0, +\infty)$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$, следовательно, область значений $R(y) = (-\infty, 0]$.
2. Поменять местами переменные $x$ и $y$ в исходном уравнении: $x = -y^{\frac{1}{2}}$ или $x = -\sqrt{y}$.
3. Выразить $y$ из нового уравнения. Для обратной функции область определения будет $(-\infty, 0]$, а область значений — $[0, +\infty)$.
Из $x = -\sqrt{y}$ следует, что $-x = \sqrt{y}$. Возведем обе части в квадрат: $(-x)^2 = (\sqrt{y})^2$, что дает $y = x^2$.
4. Учесть область определения обратной функции. Так как для исходной функции $y \le 0$, то для обратной функции $x \le 0$.
Итак, обратная функция имеет вид $y = x^2$ при $x \le 0$.

Ответ: $y = x^2$, где $x \le 0$.

2) Дана функция $y = -x^{\frac{3}{5}}$. Это выражение эквивалентно $y = -\sqrt[5]{x^3}$.

1. Область определения $D(y)$ и область значений $R(y)$ для данной функции — все действительные числа, то есть $(-\infty, +\infty)$, так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа.
2. Поменяем местами $x$ и $y$: $x = -y^{\frac{3}{5}}$.
3. Выразим $y$:
$-x = y^{\frac{3}{5}}$
Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{3}$:
$(-x)^{\frac{5}{3}} = (y^{\frac{3}{5}})^{\frac{5}{3}}$
$y = (-1 \cdot x)^{\frac{5}{3}} = (-1)^{\frac{5}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = -x^{\frac{5}{3}}$.
Обратная функция: $y = -x^{\frac{5}{3}}$.

Ответ: $y = -x^{\frac{5}{3}}$.

3) Дана функция $y = x^{\frac{3}{2}}$. Это выражение эквивалентно $y = \sqrt{x^3}$.

1. Область определения $D(y)$ — это $x \ge 0$, то есть $[0, +\infty)$. Область значений $R(y)$ также $[0, +\infty)$.
2. Поменяем местами $x$ и $y$: $x = y^{\frac{3}{2}}$.
3. Для обратной функции область определения будет $[0, +\infty)$, а область значений — $[0, +\infty)$. Выразим $y$:
Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$:
$x^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$
$y = x^{\frac{2}{3}}$.
Эта функция определена для $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^{\frac{2}{3}}$.

4) Дана функция $y = -x^{\frac{1}{3}}$. Это выражение эквивалентно $y = -\sqrt[3]{x}$.

1. Область определения и область значений для данной функции — все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$.
2. Поменяем местами $x$ и $y$: $x = -y^{\frac{1}{3}}$.
3. Выразим $y$:
$-x = y^{\frac{1}{3}}$
Возведем обе части уравнения в куб:
$(-x)^3 = (y^{\frac{1}{3}})^3$
$-x^3 = y$
Следовательно, обратная функция: $y = -x^3$.

Ответ: $y = -x^3$.