Номер 139, страница 58 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 139, страница 58.

Условие.

139 Равносильны ли следующие уравнения:

1) $3x - 7 = 5x + 5$ и $2x + 12 = 0$;

2) $\frac{1}{5}(2x - 1) = 1$ и $\frac{3x - 1}{8} = 1$;

3) $x^2 - 3x + 2 = 0$ и $x^2 + 3x + 2 = 0$;

4) $(x - 5)^2 = 3(x - 5)$ и $x - 5 = 3$;

5) $x^2 - 1 = 0$ и $2^x - 1 = 0$;

6) $|x - 2| = -3$ и $3^x = (-1)^3?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными, так как их множества решений совпадают (оба являются пустыми множествами).

1) $3x - 7 = 5x + 5$ и $2x + 12 = 0$

Решим первое уравнение:
$3x - 7 = 5x + 5$
$3x - 5x = 5 + 7$
$-2x = 12$
$x = \frac{12}{-2}$
$x = -6$
Корень первого уравнения: $x = -6$.

Решим второе уравнение:
$2x + 12 = 0$
$2x = -12$
$x = \frac{-12}{2}$
$x = -6$
Корень второго уравнения: $x = -6$.

Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{-6\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.

2) $\frac{1}{5}(2x - 1) = 1$ и $\frac{3x - 1}{8} = 1$

Решим первое уравнение:
$\frac{1}{5}(2x - 1) = 1$
Умножим обе части на 5:
$2x - 1 = 5$
$2x = 6$
$x = 3$
Корень первого уравнения: $x = 3$.

Решим второе уравнение:
$\frac{3x - 1}{8} = 1$
Умножим обе части на 8:
$3x - 1 = 8$
$3x = 9$
$x = 3$
Корень второго уравнения: $x = 3$.

Множества корней обоих уравнений совпадают: $\{3\}$. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.

3) $x^2 - 3x + 2 = 0$ и $x^2 + 3x + 2 = 0$

Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Множество корней первого уравнения: $\{1, 2\}$.

Решим второе квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$.
Множество корней второго уравнения: $\{-1, -2\}$.

Множества корней $\{1, 2\}$ и $\{-1, -2\}$ не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

4) $(x - 5)^2 = 3(x - 5)$ и $x - 5 = 3$

Решим первое уравнение:
$(x - 5)^2 = 3(x - 5)$
Перенесем все члены в левую часть:
$(x - 5)^2 - 3(x - 5) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:
$(x - 5)((x - 5) - 3) = 0$
$(x - 5)(x - 8) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x - 5 = 0$ или $x - 8 = 0$
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$
Множество корней первого уравнения: $\{5, 8\}$.

Решим второе уравнение:
$x - 5 = 3$
$x = 8$
Множество корней второго уравнения: $\{8\}$.

Множества корней $\{5, 8\}$ и $\{8\}$ не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

5) $x^2 - 1 = 0$ и $2^{x-1} = 0$

Решим первое уравнение:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Множество корней первого уравнения: $\{-1, 1\}$.

Решим второе уравнение:
$2^{x-1} = 0$
Показательная функция $y = a^z$ (где $a > 0, a \neq 1$) всегда принимает только положительные значения ($y > 0$). Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Множество корней второго уравнения: $\emptyset$ (пустое множество).

Множества корней $\{-1, 1\}$ и $\emptyset$ не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

6) $|x - 2| = -3$ и $3^x = (-1)^3$

Решим первое уравнение:
$|x - 2| = -3$
Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x - 2| \ge 0$. Уравнение, в котором модуль выражения равен отрицательному числу, не имеет решений.
Множество корней: $\emptyset$.

Решим второе уравнение:
$3^x = (-1)^3$
$3^x = -1$
Показательная функция $y = 3^x$ принимает только положительные значения при любых действительных $x$. Уравнение, в котором показательная функция с положительным основанием равна отрицательному числу, не имеет решений.
Множество корней: $\emptyset$.

Оба уравнения не имеют корней, их множества решений совпадают (оба являются пустыми). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.