Номер 146, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 146, страница 59.

Условие.

146 Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:

1) $|x| = \sqrt{5}$ и $\sqrt{x^2} = 5$;

2) $\frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2}$ и $(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы установить, какое из уравнений является следствием другого, необходимо найти и сравнить множества их решений. Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если все корни уравнения (А) являются также и корнями уравнения (Б).

Рассмотрим первое уравнение: $|x| = \sqrt{5}$.

По определению модуля, это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$. Множество решений этого уравнения $M_1 = \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $\sqrt{x^2} = 5$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, преобразуем уравнение к виду $|x| = 5$.

Это уравнение имеет два корня: $x_3 = 5$ и $x_4 = -5$. Множество решений этого уравнения $M_2 = \{-5, 5\}$.

Сравним множества решений $M_1$ и $M_2$.

Множество $M_1$ не является подмножеством $M_2$, так как корни $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$ не входят в $M_2$. Следовательно, второе уравнение не является следствием первого.

Множество $M_2$ не является подмножеством $M_1$, так как корни $5$ и $-5$ не входят в $M_1$. Следовательно, первое уравнение не является следствием второго.

Ответ: Ни одно из данных уравнений не является следствием другого.

2) Рассмотрим два уравнения: $\frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2}$ (уравнение 1) и $(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$ (уравнение 2).

Сначала решим первое уравнение. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x+3 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq -2$.

Для решения уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $(x+3)(x+2)$ (при условии, что $x$ входит в ОДЗ):

$(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$

Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:

$x^2 - 4 = x^2 - 9$

Вычитая $x^2$ из обеих частей, приходим к неверному равенству:

$-4 = -9$

Это означает, что уравнение 1 не имеет решений. Его множество решений пусто: $M_1 = \emptyset$.

Теперь решим второе уравнение: $(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$. Это уравнение определено для всех действительных чисел $x$. Его решение полностью повторяет преобразования, выполненные выше:

$x^2 - 4 = x^2 - 9$

$-4 = -9$

Это уравнение также не имеет решений. Его множество решений пусто: $M_2 = \emptyset$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают ($M_1 = M_2$), уравнения являются равносильными. Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого, так как пустое множество является подмножеством любого множества, включая само себя ($\emptyset \subseteq \emptyset$).

Ответ: Уравнения равносильны, следовательно, каждое из них является следствием другого.