Номер 140, страница 58 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 140, страница 58.

Условие.

140 Равносильны ли следующие неравенства:

1) $2x - 1 \ge 2$ и $2 (x - 1) \ge 1$;

2) $(x - 1) (x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$;

3) $(x - 2) (x + 1) < 3x + 3$ и $x - 2 < 3$;

4) $x (x + 3) \ge 2x$ и $x^2 (x + 3) \ge 2x^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность данных пар неравенств, найдем множество решений для каждого из них и сравним их.

1) $2x - 1 \ge 2$ и $2(x - 1) \ge 1$

Решим первое неравенство:

$2x - 1 \ge 2$

$2x \ge 2 + 1$

$2x \ge 3$

$x \ge \frac{3}{2}$

Множество решений первого неравенства: $x \in [\frac{3}{2}, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$2(x - 1) \ge 1$

$2x - 2 \ge 1$

$2x \ge 1 + 2$

$2x \ge 3$

$x \ge \frac{3}{2}$

Множество решений второго неравенства: $x \in [\frac{3}{2}, +\infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.

Ответ: Да, неравенства равносильны.

2) $(x - 1)(x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$

Решим первое неравенство:

$(x - 1)(x + 2) < 0$

Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Так как ветви параболы $y = (x - 1)(x + 2)$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-2, 1)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + x < 2$

$x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Неравенство можно записать в виде $(x - 1)(x + 2) < 0$.

Это то же самое неравенство, что и первое. Его решение: $x \in (-2, 1)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.

Ответ: Да, неравенства равносильны.

3) $(x - 2)(x + 1) < 3x + 3$ и $x - 2 < 3$

Решим первое неравенство:

$(x - 2)(x + 1) < 3x + 3$

$x^2 + x - 2x - 2 < 3x + 3$

$x^2 - x - 2 < 3x + 3$

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Неравенство можно записать в виде $(x - 5)(x + 1) < 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-1, 5)$.

Решим второе неравенство:

$x - 2 < 3$

$x < 3 + 2$

$x < 5$

Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty, 5)$.

Множество решений первого неравенства $(-1, 5)$ является подмножеством множества решений второго неравенства $(-\infty, 5)$, но они не совпадают. Например, $x = -2$ является решением второго неравенства, но не является решением первого.

Ответ: Нет, неравенства не равносильны.

4) $x(x + 3) \ge 2x$ и $x^2(x + 3) \ge 2x^2$

Решим первое неравенство:

$x(x + 3) \ge 2x$

$x^2 + 3x - 2x \ge 0$

$x^2 + x \ge 0$

$x(x + 1) \ge 0$

Корни уравнения $x(x + 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Ветви параболы $y = x(x+1)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ не между корнями (включая сами корни).

Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2(x + 3) \ge 2x^2$

$x^2(x + 3) - 2x^2 \ge 0$

$x^2(x + 3 - 2) \ge 0$

$x^2(x + 1) \ge 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).

Рассмотрим два случая:

1. Если $x = 0$, то неравенство превращается в $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x = 0$ является решением.

2. Если $x \neq 0$, то $x^2 > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $x^2$, не меняя знака неравенства: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Объединяя эти два случая ($x=0$ и $x \ge -1$ при $x \neq 0$), получаем множество решений второго неравенства: $x \in [-1, +\infty)$.

Сравним множества решений: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$ и $[-1, +\infty)$. Они не совпадают. Например, $x = -0.5$ является решением второго неравенства, но не первого. А $x = -2$ является решением первого, но не второго.

Ответ: Нет, неравенства не равносильны.