Номер 147, страница 59 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 8. Равносильные уравнения и неравенства - номер 147, страница 59.

Условие.

147 Решить уравнение $\frac{1}{3x+1} - \frac{2}{3x-1} - \frac{5x}{9x^2-1} = \frac{3x^2}{1-9x^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения переменной $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

1. $3x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3}$

2. $3x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$

3. $9x^2-1 \neq 0 \Rightarrow (3x-1)(3x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm\frac{1}{3}$

4. $1-9x^2 \neq 0 \Rightarrow -(9x^2-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm\frac{1}{3}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\}$.

Теперь приступим к решению уравнения:

$$ \frac{1}{3x+1} - \frac{2}{3x-1} - \frac{5x}{9x^2-1} = \frac{3x^2}{1-9x^2} $$

Заметим, что знаменатель в правой части $1-9x^2$ можно представить как $-(9x^2-1)$. Перепишем уравнение:

$$ \frac{1}{3x+1} - \frac{2}{3x-1} - \frac{5x}{9x^2-1} = -\frac{3x^2}{9x^2-1} $$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$$ \frac{1}{3x+1} - \frac{2}{3x-1} - \frac{5x}{9x^2-1} + \frac{3x^2}{9x^2-1} = 0 $$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является выражение $9x^2-1$, так как $9x^2-1 = (3x-1)(3x+1)$.

$$ \frac{1 \cdot (3x-1)}{(3x+1)(3x-1)} - \frac{2 \cdot (3x+1)}{(3x-1)(3x+1)} - \frac{5x}{9x^2-1} + \frac{3x^2}{9x^2-1} = 0 $$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, мы можем объединить их числители:

$$ \frac{(3x-1) - 2(3x+1) - 5x + 3x^2}{9x^2-1} = 0 $$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$$ (3x-1) - 2(3x+1) - 5x + 3x^2 = 0 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ 3x - 1 - 6x - 2 - 5x + 3x^2 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 3x^2 + (3x - 6x - 5x) + (-1 - 2) = 0 $$

$$ 3x^2 - 8x - 3 = 0 $$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ x_{1} = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 $$

$$ x_{2} = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm\frac{1}{3}$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении $x$ знаменатели $3x+1$ и $9x^2-1$ обращаются в ноль. Следовательно, $x = -\frac{1}{3}$ является посторонним корнем и не является решением уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: 3.