Номер 153, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 153, страница 62.

Условие.

153 1) $\sqrt[3]{2x+3}=1;$

2) $\sqrt[3]{1-x}=2;$

3) $\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt[3]{2x+3} = 1$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо избавиться от кубического корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень. Это является равносильным преобразованием для уравнений с корнями нечетной степени.

$(\sqrt[3]{2x+3})^3 = 1^3$

В результате получаем простое линейное уравнение:

$2x+3 = 1$

Перенесем число 3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 1 - 3$

$2x = -2$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти значение $x$:

$x = \frac{-2}{2}$

$x = -1$

Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{2(-1)+3} = \sqrt[3]{-2+3} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Так как $1=1$, решение найдено верно.

Ответ: -1.

2) $\sqrt[3]{1-x} = 2$

Аналогично предыдущему заданию, возведем обе части уравнения в третью степень для устранения радикала:

$(\sqrt[3]{1-x})^3 = 2^3$

После возведения в степень получаем:

$1-x = 8$

Перенесем 1 в правую часть:

$-x = 8 - 1$

$-x = 7$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -7$

Проверим полученный результат:

$\sqrt[3]{1-(-7)} = \sqrt[3]{1+7} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Так как $2=2$, корень найден верно.

Ответ: -7.

3) $\sqrt[3]{3x^2-3} = \sqrt[3]{8x}$

В данном уравнении обе части находятся под знаком кубического корня. Чтобы решить его, возведем обе части в третью степень. Это равносильное преобразование.

$(\sqrt[3]{3x^2-3})^3 = (\sqrt[3]{8x})^3$

В результате получаем квадратное уравнение:

$3x^2 - 3 = 8x$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$, перенеся все члены в левую часть:

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=-3$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + 10}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-8) - 10}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Поскольку возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием, проверка не является обязательной для отсеивания посторонних корней, но может быть использована для самоконтроля. Оба найденных значения являются корнями уравнения.

Ответ: $3; -\frac{1}{3}$.