Номер 160, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 160, страница 63.

Условие.

160 1) $\sqrt[3]{x-2} = 2;$

2) $\sqrt[3]{2x+7} = \sqrt[3]{3(x-1)};$

3) $\sqrt[4]{25x^2-144} = x;$

4) $x^2 = \sqrt{19x^2-34}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt[3]{x-2} = 2$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня:

$(\sqrt[3]{x-2})^3 = 2^3$

$x-2 = 8$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$, прибавив 2 к обеим частям:

$x = 8 + 2$

$x = 10$

Так как показатель корня нечетный, область допустимых значений для $x$ не ограничена, и проверка не выявит посторонних корней. Проверим решение подстановкой:

$\sqrt[3]{10-2} = \sqrt[3]{8} = 2$.

$2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $10$

2) $\sqrt[3]{2x+7} = \sqrt[3]{3(x-1)}$

Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы устранить кубические корни:

$(\sqrt[3]{2x+7})^3 = (\sqrt[3]{3(x-1)})^3$

$2x+7 = 3(x-1)$

Раскроем скобки в правой части и решим линейное уравнение:

$2x+7 = 3x - 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$7+3 = 3x - 2x$

$10 = x$

Показатель корня нечетный, поэтому посторонних корней не возникает. Проведем проверку:

Левая часть: $\sqrt[3]{2(10)+7} = \sqrt[3]{20+7} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Правая часть: $\sqrt[3]{3(10-1)} = \sqrt[3]{3 \cdot 9} = \sqrt[3]{27} = 3$.

$3=3$. Равенство верно.

Ответ: $10$

3) $\sqrt[4]{25x^2 - 144} = x$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четвертой степени (четной степени) не может быть отрицательным, то $x \ge 0$. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $25x^2 - 144 \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{25x^2 - 144})^4 = x^4$

$25x^2 - 144 = x^4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.

$y^2 - 25y + 144 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 25, а произведение 144. Корни легко находятся: $y_1 = 9$ и $y_2 = 16$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $x^2 = 9 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$

2. $x^2 = 16 \implies x_3 = 4, x_4 = -4$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корни $x_2 = -3$ и $x_4 = -4$ не удовлетворяют условию $x \ge 0$ и являются посторонними.

Остаются корни $x_1 = 3$ и $x_3 = 4$. Проверим для них второе условие ОДЗ $25x^2 - 144 \ge 0$.

Для $x=3$: $25(3^2) - 144 = 25 \cdot 9 - 144 = 225 - 144 = 81 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x=4$: $25(4^2) - 144 = 25 \cdot 16 - 144 = 400 - 144 = 256 \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $3; 4$

4) $x^2 = \sqrt{19x^2 - 34}$

ОДЗ для данного уравнения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $19x^2 - 34 \ge 0$. Левая часть уравнения, $x^2$, уже неотрицательна, так что дополнительного ограничения на знак это не накладывает.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(x^2)^2 = (\sqrt{19x^2 - 34})^2$

$x^4 = 19x^2 - 34$

Получаем биквадратное уравнение:

$x^4 - 19x^2 + 34 = 0$

Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$.

$y^2 - 19y + 34 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 361 - 136 = 225 = 15^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 15}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 15}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба значения $y$ положительны, поэтому подходят.

Вернемся к переменной $x$:

1. $x^2 = 17 \implies x = \pm\sqrt{17}$

2. $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ: $19x^2 - 34 \ge 0$.

Для $x = \pm\sqrt{17}$, $x^2 = 17$. $19(17) - 34 = 323 - 34 = 289 \ge 0$. Корни подходят.

Для $x = \pm\sqrt{2}$, $x^2 = 2$. $19(2) - 34 = 38 - 34 = 4 \ge 0$. Корни подходят.

Так как мы возводили в квадрат обе части уравнения, где левая часть $x^2$ уже была неотрицательной, посторонних корней не появилось. Все четыре значения являются решениями.

Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\sqrt{17}$