Номер 167, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 167, страница 68.

Условие.

167 1) $\sqrt{x-2} > 3;$

2) $\sqrt{x-2} < 1;$

3) $\sqrt{3-x} < 5;$

4) $\sqrt{4-x} > 3;$

5) $\sqrt{2x-3} > 4;$

6) $\sqrt{x+1} \geq \frac{2}{3};$

7) $\sqrt{3x-5} < 5;$

8) $\sqrt{4x+5} \leq \frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x - 2} > 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x - 2})^2 > 3^2$
$x - 2 > 9$
$x > 11$.

Теперь найдем пересечение решения $x > 11$ с ОДЗ $x \ge 2$. Совместным решением является $x > 11$.
Ответ: $(11; +\infty)$.

2)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x - 2} < 1$.

ОДЗ: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$(\sqrt{x - 2})^2 < 1^2$
$x - 2 < 1$
$x < 3$.

Найдем пересечение решения $x < 3$ с ОДЗ $x \ge 2$. Получаем $2 \le x < 3$.
Ответ: $[2; 3)$.

3)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{3 - x} < 5$.

ОДЗ: $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$(\sqrt{3 - x})^2 < 5^2$
$3 - x < 25$
$-x < 22$
$x > -22$.

Найдем пересечение решения $x > -22$ с ОДЗ $x \le 3$. Получаем $-22 < x \le 3$.
Ответ: $(-22; 3]$.

4)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{4 - x} > 3$.

ОДЗ: $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$(\sqrt{4 - x})^2 > 3^2$
$4 - x > 9$
$-x > 5$
$x < -5$.

Найдем пересечение решения $x < -5$ с ОДЗ $x \le 4$. Совместным решением является $x < -5$.
Ответ: $(-\infty; -5)$.

5)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{2x - 3} > 4$.

ОДЗ: $2x - 3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$(\sqrt{2x - 3})^2 > 4^2$
$2x - 3 > 16$
$2x > 19$
$x > 9.5$.

Найдем пересечение решения $x > 9.5$ с ОДЗ $x \ge 1.5$. Совместным решением является $x > 9.5$.
Ответ: $(9.5; +\infty)$.

6)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x + 1} \ge \frac{2}{3}$.

ОДЗ: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$(\sqrt{x + 1})^2 \ge (\frac{2}{3})^2$
$x + 1 \ge \frac{4}{9}$
$x \ge \frac{4}{9} - 1$
$x \ge -\frac{5}{9}$.

Найдем пересечение решения $x \ge -\frac{5}{9}$ с ОДЗ $x \ge -1$. Так как $-\frac{5}{9} > -1$, совместным решением является $x \ge -\frac{5}{9}$.
Ответ: $[-\frac{5}{9}; +\infty)$.

7)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{3x - 5} < 5$.

ОДЗ: $3x - 5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$(\sqrt{3x - 5})^2 < 5^2$
$3x - 5 < 25$
$3x < 30$
$x < 10$.

Найдем пересечение решения $x < 10$ с ОДЗ $x \ge \frac{5}{3}$. Получаем $\frac{5}{3} \le x < 10$.
Ответ: $[\frac{5}{3}; 10)$.

8)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{4x + 5} \le \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $4x + 5 \ge 0 \implies 4x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{4}$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$(\sqrt{4x + 5})^2 \le (\frac{1}{2})^2$
$4x + 5 \le \frac{1}{4}$
$4x \le \frac{1}{4} - 5$
$4x \le -\frac{19}{4}$
$x \le -\frac{19}{16}$.

Найдем пересечение решения $x \le -\frac{19}{16}$ с ОДЗ $x \ge -\frac{5}{4}$. Так как $-\frac{5}{4} = -\frac{20}{16}$, то условие $x \ge -\frac{20}{16}$ и $x \le -\frac{19}{16}$ дает нам $-\frac{5}{4} \le x \le -\frac{19}{16}$.
Ответ: $[-\frac{5}{4}; -\frac{19}{16}]$.