Номер 173, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 173, страница 69.

Условие.

173 1) $\sqrt{x} \le 2x;$

2) $\sqrt{x} > 0,5x;$

3) $\sqrt{x} \ge 2x - 1;$

4) $\sqrt{x} \ge x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{x} \le 2x$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть неравенства должна быть неотрицательной, то есть $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Это совпадает с ОДЗ.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x = 0$, то неравенство принимает вид $\sqrt{0} \le 2 \cdot 0$, или $0 \le 0$. Это верное неравенство, значит $x = 0$ является решением.
2. Если $x > 0$, обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \le (2x)^2$
$x \le 4x^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$4x^2 - x \ge 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(4x - 1) \ge 0$
Поскольку мы рассматриваем случай $x > 0$, мы можем разделить обе части на $x$, не меняя знака неравенства:
$4x - 1 \ge 0$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$
Объединяя результаты обоих случаев ($x=0$ и $x \ge \frac{1}{4}$), получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in \{0\} \cup [\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) $\sqrt{x} > 0,5x$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Если $x = 0$, то неравенство становится $0 > 0$, что неверно. Следовательно, $x \ne 0$. Таким образом, мы ищем решения при $x > 0$.
При $x > 0$ обе части неравенства положительны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 > (0,5x)^2$
$x > 0,25x^2$
$0,25x^2 - x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(0,25x - 1) < 0$
Так как $x > 0$, то для выполнения неравенства второй множитель должен быть отрицательным:
$0,25x - 1 < 0$
$0,25x < 1$
$x < \frac{1}{0,25}$
$x < 4$
Учитывая условие $x > 0$, получаем интервал $0 < x < 4$.
Ответ: $x \in (0; 4)$.

3) $\sqrt{x} \ge 2x - 1$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Решим это неравенство, рассмотрев два случая в зависимости от знака правой части.
Случай 1: Правая часть отрицательна, $2x - 1 < 0$.
$2x < 1 \implies x < \frac{1}{2}$.
В этом случае левая часть $\sqrt{x}$ всегда неотрицательна, а правая часть $2x - 1$ отрицательна. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного, поэтому неравенство выполняется для всех $x$ из этого случая, удовлетворяющих ОДЗ. Пересекая $x < \frac{1}{2}$ с ОДЗ $x \ge 0$, получаем первое множество решений: $x \in [0; \frac{1}{2})$.
Случай 2: Правая часть неотрицательна, $2x - 1 \ge 0$.
$2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 \ge (2x - 1)^2$
$x \ge 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 5x + 1 \le 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как ветви параболы $y = 4x^2 - 5x + 1$ направлены вверх, неравенство $4x^2 - 5x + 1 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [\frac{1}{4}; 1]$.
Теперь найдем пересечение этого решения с условием данного случая ($x \ge \frac{1}{2}$): $x \in [\frac{1}{4}; 1] \cap [\frac{1}{2}; +\infty) = [\frac{1}{2}; 1]$.
Объединяем решения из обоих случаев: $[0; \frac{1}{2}) \cup [\frac{1}{2}; 1]$.
Ответ: $x \in [0; 1]$.

4) $\sqrt{x} \ge x^2$

ОДЗ: $x \ge 0$.
При $x \ge 0$ обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и $x^2$) являются неотрицательными. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 \ge (x^2)^2$
$x \ge x^4$
$x^4 - x \le 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^3 - 1) \le 0$
Рассмотрим это неравенство на области ОДЗ $x \ge 0$.
Если $x = 0$, то $0(0-1) \le 0 \implies 0 \le 0$, что верно. $x=0$ - решение.
Если $x > 0$, то мы можем разделить неравенство на $x$ (положительное число), не меняя знака:
$x^3 - 1 \le 0$
$x^3 \le 1$
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:
$x \le 1$
Совмещая с условием $x > 0$, получаем $x \in (0; 1]$.
Объединяя решение $x=0$ с интервалом $(0; 1]$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in [0; 1]$.