Номер 179, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 179, страница 69.

Условие.

179 Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{1-x}$;

2) $y = \sqrt[6]{2-x^2}$;

3) $y = (3x^2+1)^{-2}$;

4) $y = \sqrt{x^2-x-2}$.

а) $y = f(x)$

б) $y = g(x)$

Рис. 33

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = \sqrt[3]{1-x}$ область определения находится из следующих соображений. Функция является кубическим корнем. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа подкоренного выражения. Это означает, что выражение $1-x$ может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt[6]{2-x^2}$ область определения определяется условием, что подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным. Таким образом, мы должны решить неравенство:
$2 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 2$
Это неравенство эквивалентно системе: $\begin{cases} x \le \sqrt{2} \\ x \ge -\sqrt{2} \end{cases}$
Следовательно, решением является замкнутый промежуток.
Ответ: $D(y) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

3) Функцию $y = (3x^2 + 1)^{-2}$ можно переписать в виде дроби: $y = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$. Область определения такой функции — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$(3x^2 + 1)^2 = 0$
$3x^2 + 1 = 0$
$3x^2 = -1$
$x^2 = -\frac{1}{3}$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, функция определена для любых действительных значений $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Для функции $y = \sqrt{x^2 - x - 2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень квадратный (четной степени). Решим квадратичное неравенство:
$x^2 - x - 2 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх. Это означает, что парабола принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, решением неравенства является объединение двух лучей.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.