Номер 177, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 177, страница 69.

Условие.

177 Расположить числа в порядке возрастания:

1) $0,3^\pi, 0,3^{0,5}, 0,3^{\frac{2}{3}}, 0,3^{3,1415};$

2) $\sqrt{2}^\pi, 1,9^\pi, \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi, \pi^\pi;$

3) $5^{-2}, 5^{-0,7}, 5^{\frac{1}{3}}, \left(\frac{1}{5}\right)^{2,1};$

4) $0,5^{-\frac{2}{3}}, 1,3^{-\frac{2}{3}}, \pi^{-\frac{2}{3}}, (\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы расположить числа $0,3^{\pi}$, $0,3^{0,5}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{3,1415}$ в порядке возрастания, мы сравниваем их, используя свойства показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 0,3$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = 0,3^x$ является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени $x$, тем меньше значение функции. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, нам нужно расположить их показатели степени в порядке убывания.

Сравним показатели степени: $\pi$, $0,5$, $\frac{2}{3}$, $3,1415$.Приблизительные значения:

• $\pi \approx 3,14159265...$
• $0,5$
• $\frac{2}{3} = 0,666...$
• $3,1415$

Расположим эти показатели в порядке убывания:$\pi > 3,1415 > \frac{2}{3} > 0,5$.

Так как функция убывающая, то для степеней с основанием 0,3 порядок будет обратным:$0,3^{\pi} < 0,3^{3,1415} < 0,3^{\frac{2}{3}} < 0,3^{0,5}$.

Ответ: $0,3^{\pi}$, $0,3^{3,1415}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{0,5}$.

2) Чтобы расположить числа $\sqrt{2}^{\pi}$, $1,9^{\pi}$, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^{\pi}$, $\pi^{\pi}$ в порядке возрастания, мы сравниваем их, используя свойства степенной функции $y = x^a$.

В данном случае все числа возведены в одну и ту же степень $a = \pi$. Так как показатель степени $\pi > 0$, степенная функция $y = x^{\pi}$ является возрастающей для $x > 0$. Это означает, что чем больше основание $x$, тем больше значение функции. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, нам нужно расположить их основания в порядке возрастания.

Сравним основания: $\sqrt{2}$, $1,9$, $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\pi$.Приблизительные значения:

• $\sqrt{2} \approx 1,414$
• $1,9$
• $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$
• $\pi \approx 3,14159$

Расположим эти основания в порядке возрастания:$\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < 1,9 < \pi$.

Так как функция возрастающая, то для степеней с показателем $\pi$ порядок будет таким же:$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{\pi} < (\sqrt{2})^{\pi} < 1,9^{\pi} < \pi^{\pi}$.

Ответ: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^{\pi}$, $\sqrt{2}^{\pi}$, $1,9^{\pi}$, $\pi^{\pi}$.

3) Чтобы расположить числа $5^{-2}$, $5^{-0,7}$, $5^{\frac{1}{3}}$, $(\frac{1}{5})^{2,1}$ в порядке возрастания, приведем их к одному основанию.

Заметим, что $(\frac{1}{5})^{2,1} = (5^{-1})^{2,1} = 5^{-2,1}$. Теперь все числа имеют основание 5: $5^{-2}$, $5^{-0,7}$, $5^{\frac{1}{3}}$, $5^{-2,1}$.

Рассмотрим показательную функцию $y = 5^x$. Так как основание $a=5 > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени $x$, тем больше значение функции. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, нам нужно расположить их показатели степени в порядке возрастания.

Сравним показатели степени: $-2$, $-0,7$, $\frac{1}{3}$, $-2,1$.Значение $\frac{1}{3} \approx 0,333...$

Расположим эти показатели в порядке возрастания:$-2,1 < -2 < -0,7 < \frac{1}{3}$.

Так как функция возрастающая, то для степеней с основанием 5 порядок будет таким же:$5^{-2,1} < 5^{-2} < 5^{-0,7} < 5^{\frac{1}{3}}$.

Вернемся к исходной записи чисел:$(\frac{1}{5})^{2,1} < 5^{-2} < 5^{-0,7} < 5^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{2,1}$, $5^{-2}$, $5^{-0,7}$, $5^{\frac{1}{3}}$.

4) Чтобы расположить числа $0,5^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$ в порядке возрастания, мы сравниваем их, используя свойства степенной функции $y = x^a$.

В данном случае все числа возведены в одну и ту же степень $a = -\frac{2}{3}$. Так как показатель степени $a < 0$, степенная функция $y = x^{-\frac{2}{3}}$ является убывающей для $x > 0$. Это означает, что чем больше основание $x$, тем меньше значение функции. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, нам нужно расположить их основания в порядке убывания.

Сравним основания: $0,5$, $1,3$, $\pi$, $\sqrt{2}$.Приблизительные значения:

• $0,5$
• $1,3$
• $\pi \approx 3,14159$
• $\sqrt{2} \approx 1,414$

Расположим эти основания в порядке убывания:$\pi > \sqrt{2} > 1,3 > 0,5$.

Так как функция убывающая, то для степеней с показателем $-\frac{2}{3}$ порядок будет обратным, то есть, чем больше основание, тем меньше значение. Таким образом, искомый порядок возрастания:$\pi^{-\frac{2}{3}} < (\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}} < 1,3^{-\frac{2}{3}} < 0,5^{-\frac{2}{3}}$.

Ответ: $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $0,5^{-\frac{2}{3}}$.