Номер 178, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 178, страница 69.

Условие.

178 Решить уравнение с помощью графиков:

1) $\sqrt[3]{x} = x^2 + x - 1$;

2) $x^{-2} = 2 - x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt[3]{x} = x^2 + x - 1$

Для решения данного уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^2 + x - 1$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это график функции кубического корня. Он проходит через начало координат, расположен в I и III координатных четвертях и симметричен относительно начала координат. Контрольные точки: $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$. Функция возрастает на всей области определения.

2. График функции $y = x^2 + x - 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Ордината вершины: $y_0 = (-0.5)^2 + (-0.5) - 1 = 0.25 - 0.5 - 1 = -1.25$. Таким образом, вершина параболы — точка $(-0.5, -1.25)$. Контрольные точки параболы: при $x = -1$, $y = (-1)^2 - 1 - 1 = -1$; при $x = 1$, $y = 1^2 + 1 - 1 = 1$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Из построения и проверки контрольных точек видно, что графики пересекаются в двух точках: $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек: $x = -1$ и $x = 1$.

При $x > 1$ парабола растет гораздо быстрее, чем кубический корень, а при $x < -1$ значения параболы также становятся значительно больше значений кубического корня, поэтому других точек пересечения нет.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

2) $x^{-2} = 2 - x^2$

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{x^2} = 2 - x^2$. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \ne 0$. Для решения построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 2 - x^2$.

1. График функции $y = \frac{1}{x^2}$. Эта функция является четной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. График расположен в I и II координатных четвертях, так как $y$ всегда положителен. Ось Ox ($y=0$) — горизонтальная асимптота, а ось Oy ($x=0$) — вертикальная асимптота. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 1/4)$, $(-2, 1/4)$.

2. График функции $y = 2 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Функция также является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(-\sqrt{2}, 0)$.

Построим оба графика. Так как обе функции четные, их графики симметричны относительно оси Oy. Достаточно найти положительные корни. По графикам видно, что они пересекаются в точке $(1, 1)$, следовательно, $x=1$ является корнем. Из-за симметрии графики также пересекаются в точке $(-1, 1)$, что дает второй корень $x=-1$.

На промежутке $(0, \infty)$ обе функции $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 2 - x^2$ монотонно убывают. Две монотонно убывающие функции могут пересечься не более одного раза. Мы нашли эту точку пересечения при $x=1$. Аналогичная ситуация на промежутке $(-\infty, 0)$. Таким образом, других корней нет.

Ответ: $x = -1, x = 1$.