Номер 183, страница 70 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 183, страница 70.

Условие.

183 Решить уравнение:

1) $\sqrt{3-x} = 2;$

2) $\sqrt{3x+1} = 8;$

3) $\sqrt{3-4x} = 2x;$

4) $\sqrt{5x-1+3x^2} = 3x;$

5) $\sqrt[3]{x^2-17} = 2;$

6) $\sqrt[4]{x^2+17} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{3-x}=2$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $3-x \ge 0$, что означает $x \le 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{3-x})^2 = 2^2$
$3 - x = 4$
$-x = 4 - 3$
$-x = 1$
$x = -1$.
Полученный корень $x=-1$ удовлетворяет ОДЗ ($-1 \le 3$).
Проверка: $\sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2=2$ верное.
Ответ: $x=-1$.

2) $\sqrt{3x+1}=8$
ОДЗ: $3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = 8^2$
$3x+1 = 64$
$3x = 63$
$x = \frac{63}{3} = 21$.
Корень $x=21$ удовлетворяет ОДЗ ($21 \ge -\frac{1}{3}$).
Проверка: $\sqrt{3 \cdot 21+1} = \sqrt{63+1} = \sqrt{64} = 8$. Равенство $8=8$ верное.
Ответ: $x=21$.

3) $\sqrt{3-4x}=2x$
ОДЗ определяется системой неравенств, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и результат извлечения арифметического квадратного корня также должен быть неотрицательным:
$\begin{cases} 3-4x \ge 0 \\ 2x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \le 3 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{3}{4} \\ x \ge 0 \end{cases}$.
Таким образом, ОДЗ: $0 \le x \le \frac{3}{4}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3-4x})^2 = (2x)^2$
$3-4x = 4x^2$
$4x^2+4x-3=0$.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4+8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4-8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.
Сравним корни с ОДЗ. Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{1}{2} \le \frac{3}{4}$. Корень $x_2 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому является посторонним.
Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

4) $\sqrt{5x-1+3x^2}=3x$
Перепишем уравнение в стандартном виде: $\sqrt{3x^2+5x-1}=3x$.
ОДЗ: $\begin{cases} 3x^2+5x-1 \ge 0 \\ 3x \ge 0 \end{cases}$. Из второго неравенства следует $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат. Это преобразование равносильно при условии $x \ge 0$, так как в этом случае обе части уравнения неотрицательны.
$(\sqrt{3x^2+5x-1})^2 = (3x)^2$
$3x^2+5x-1 = 9x^2$
$6x^2-5x+1=0$.
Решим квадратное уравнение. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
$x_1 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Оба корня, $x_1=\frac{1}{2}$ и $x_2=\frac{1}{3}$, положительны, значит они удовлетворяют условию $x \ge 0$. При положительных $x$ правая часть исходного уравнения $3x$ неотрицательна, значит и левая часть $\sqrt{3x^2+5x-1}$ тоже, что гарантирует выполнение и первого условия ОДЗ ($3x^2+5x-1 \ge 0$). Следовательно, оба корня являются решениями.
Ответ: $x_1=\frac{1}{3}, x_2=\frac{1}{2}$.

5) $\sqrt[3]{x^2-17}=2$
Подкоренное выражение кубического корня может быть любым действительным числом, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части уравнения в третью (кубическую) степень:
$(\sqrt[3]{x^2-17})^3 = 2^3$
$x^2-17=8$
$x^2 = 25$
$x = \pm \sqrt{25}$.
Получаем два решения: $x_1=5$ и $x_2=-5$.
Ответ: $x_1=5, x_2=-5$.

6) $\sqrt[4]{x^2+17}=3$
ОДЗ: Выражение под корнем четной степени (4-й) должно быть неотрицательным: $x^2+17 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2+17$ всегда больше нуля. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x^2+17})^4 = 3^4$
$x^2+17=81$
$x^2=81-17$
$x^2=64$
$x = \pm \sqrt{64}$.
Получаем два решения: $x_1=8$ и $x_2=-8$.
Ответ: $x_1=8, x_2=-8$.