Номер 180, страница 70 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 180, страница 70.

Условие.

180 Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений:

1) $y = 0,5x + 3;$

2) $y = \frac{2}{x-3};$

3) $y = (x + 2)^3;$

4) $y = x^3 - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $y = 0,5x + 3$.

Чтобы найти функцию, обратную данной, необходимо выразить переменную $x$ через $y$ из исходного уравнения:

$y - 3 = 0,5x$

$x = \frac{y - 3}{0,5}$

$x = 2(y-3)$

$x = 2y - 6$

Теперь, для получения обратной функции в стандартной форме, меняем местами переменные $x$ и $y$:

$y = 2x - 6$

Это и есть искомая обратная функция.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции. Исходная функция $y = 0,5x + 3$ является линейной, её множество значений — все действительные числа. Следовательно, область определения обратной функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. Область определения линейной функции $y = 0,5x + 3$ — также все действительные числа. Следовательно, множество значений обратной функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: обратная функция $y = 2x - 6$; область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) Дана функция $y = \frac{2}{x-3}$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$y(x-3) = 2$

$yx - 3y = 2$

$yx = 2 + 3y$

$x = \frac{2 + 3y}{y}$

Меняем местами переменные $x$ и $y$:

$y = \frac{2 + 3x}{x}$

Эту функцию можно также записать в виде $y = \frac{2}{x} + 3$.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной. Для исходной функции $y = \frac{2}{x-3}$ значение $y$ не может быть равно нулю, так как числитель дроби — константа, не равная нулю. Таким образом, множество значений исходной функции — $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Это и есть область определения обратной функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной. Для исходной функции $y = \frac{2}{x-3}$ знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, область определения исходной функции — $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Это и есть множество значений обратной функции: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{2}{x} + 3$; область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

3) Дана функция $y = (x+2)^3$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$. Для этого извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt[3]{y} = x+2$

$x = \sqrt[3]{y} - 2$

Теперь меняем местами $x$ и $y$:

$y = \sqrt[3]{x} - 2$

Это обратная функция.

Исходная функция $y = (x+2)^3$ является кубической. Её область определения и множество значений — все действительные числа. $D(f) = (-\infty; +\infty)$ и $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область определения обратной функции равна множеству значений исходной, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений обратной функции равно области определения исходной, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt[3]{x} - 2$; область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Дана функция $y = x^3 - 1$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$x^3 = y + 1$

$x = \sqrt[3]{y+1}$

Меняем местами переменные $x$ и $y$:

$y = \sqrt[3]{x+1}$

Это обратная функция.

Исходная функция $y = x^3 - 1$ — это кубическая функция, область определения и множество значений которой — все действительные числа. $D(f) = (-\infty; +\infty)$ и $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Соответственно, область определения обратной функции $D(y) = E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений обратной функции $E(y) = D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt[3]{x+1}$; область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.