Номер 174, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 174, страница 69.

Условие.

174 Решить неравенство:

1) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3;$

2) $\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $ \sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3 $. Данное иррациональное неравенство вида $ \sqrt{f(x)} > g(x) $ равносильно совокупности двух систем.
Первая система рассматривает случай, когда правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно:$ \begin{cases} x + 3 < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases} $Решая эту систему, получаем:$ \begin{cases} x < -3 \\ (x-1)(x-2) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \end{cases} $Пересечением этих условий является интервал $ x \in (-\infty, -3) $.
Вторая система рассматривает случай, когда обе части неравенства неотрицательны, что позволяет возвести их в квадрат:$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 3x + 2 > (x + 3)^2 \end{cases} $Решая эту систему, получаем:$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ -9x > 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x < -\frac{7}{9} \end{cases} $Решением этой системы является интервал $ x \in [-3, -\frac{7}{9}) $.
Объединяя решения обеих систем, $ (-\infty, -3) \cup [-3, -\frac{7}{9}) $, получаем общее решение неравенства.
Ответ: $ x \in (-\infty, -\frac{7}{9}) $.

2) Решим неравенство $ \sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4} $. Это неравенство также решается рассмотрением двух систем.
Первая система:$ \begin{cases} -x - \frac{1}{4} < 0 \\ 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \end{cases} $Решаем систему:$ \begin{cases} x > -\frac{1}{4} \\ 2(x-4)(x+\frac{1}{2}) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -0.25 \\ x \in (-\infty, -0.5] \cup [4, +\infty) \end{cases} $Пересечение этих множеств дает $ x \in [4, +\infty) $.
Вторая система:$ \begin{cases} -x - \frac{1}{4} \ge 0 \\ 2x^2 - 7x - 4 > (-x - \frac{1}{4})^2 \end{cases} $Решаем систему:$ \begin{cases} x \le -\frac{1}{4} \\ 2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -\frac{1}{4} \\ x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -\frac{1}{4} \\ 16x^2 - 120x - 65 > 0 \end{cases} $Найдем корни уравнения $ 16x^2 - 120x - 65 = 0 $. Дискриминант $ D = (-120)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-65) = 14400 + 4160 = 18560 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{18560}}{32} = \frac{120 \pm 8\sqrt{290}}{32} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4} $.Решением неравенства $ 16x^2 - 120x - 65 > 0 $ является $ x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup (\frac{15 + \sqrt{290}}{4}, +\infty) $.Учитывая, что $ \frac{15 - \sqrt{290}}{4} \approx \frac{15 - 17.03}{4} \approx -0.51 < -0.25 $, а $ \frac{15 + \sqrt{290}}{4} \approx \frac{15 + 17.03}{4} \approx 8.01 > -0.25 $, пересечение с условием $ x \le -\frac{1}{4} $ дает $ x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) $.
Объединяя решения обеих систем, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4, +\infty) $.