Номер 169, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 169, страница 68.

Условие.

169 1) $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} > 0;$

2) $\sqrt{2 + x - x^2} > -1;$

3) $\sqrt{6x - x^2} < \sqrt{5};$

4) $\sqrt{x^2 - x} > \sqrt{2};$

5) $\sqrt{x^2 + 2x} > -3 - x^2;$

6) $\sqrt{4x - x^2} > -2 - 3x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{2x^2+3x-2} > 0$

Квадратный корень по определению является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{A} \ge 0$. Данное неравенство строгое, поэтому нам нужно исключить случай, когда корень равен нулю. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

Решим неравенство:

$2x^2+3x-2 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2+3x-2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{-3-5}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$), ветви параболы $y=2x^2+3x-2$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2x^2+3x-2 > 0$ выполняется на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0.5; +\infty)$

2) $\sqrt{2+x-x^2} > -1$

Арифметический квадратный корень всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{A} \ge 0$. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в данном случае больше $-1$.

Следовательно, неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых выражение под корнем имеет смысл (неотрицательно). Найдем область определения функции:

$2+x-x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:

$x^2-x-2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2-x-2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y=x^2-x-2$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2-x-2 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-1; 2]$

3) $\sqrt{6x-x^2} < \sqrt{5}$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат. При этом необходимо учесть область определения исходного выражения.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 6x-x^2 \ge 0 \\ 6x-x^2 < (\sqrt{5})^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $6x-x^2 \ge 0$ или $x(6-x) \ge 0$.

Корни $x=0$ и $x=6$. Ветви параболы $y=6x-x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [0; 6]$.

Решим второе неравенство: $6x-x^2 < 5$ или $x^2-6x+5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2-6x+5=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=5$.

Ветви параболы $y=x^2-6x+5$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервалах вне корней: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $[0; 6]$ и $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Пересечением является объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in [0; 1) \cup (5; 6]$

4) $\sqrt{x^2-x} > \sqrt{2}$

Обе части неравенства неотрицательны. Можно возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2-x})^2 > (\sqrt{2})^2$

$x^2-x > 2$

$x^2-x-2 > 0$

Заметим, что если $x^2-x-2 > 0$, то $x^2-x > 2$, а значит, условие $x^2-x \ge 0$ (область определения) выполняется автоматически. Поэтому достаточно решить только полученное неравенство.

Найдем корни уравнения $x^2-x-2=0$. Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y=x^2-x-2$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2-x-2 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$

5) $\sqrt{x^2+2x} > -3-x^2$

Левая часть неравенства, $\sqrt{x^2+2x}$, по определению неотрицательна (больше или равна нулю) для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим правую часть: $-3-x^2 = -(x^2+3)$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+3 \ge 3$, а $-(x^2+3) \le -3$. Правая часть всегда отрицательна.

Неотрицательное число всегда больше отрицательного. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$, при которых левая часть существует (подкоренное выражение неотрицательно).

Найдем область определения:

$x^2+2x \ge 0$

$x(x+2) \ge 0$

Корни $x_1=-2$ и $x_2=0$. Ветви параболы $y=x^2+2x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на лучах вне отрезка между корнями (включая концы).

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$

6) $\sqrt{4x-x^2} > -2-3x^2$

Левая часть неравенства, $\sqrt{4x-x^2}$, неотрицательна на своей области определения.

Рассмотрим правую часть: $-2-3x^2 = -(3x^2+2)$. Так как $x^2 \ge 0$, то $3x^2 \ge 0$, а $3x^2+2 \ge 2$. Значит, $-(3x^2+2) \le -2$. Правая часть всегда отрицательна.

Поскольку неотрицательное число всегда больше отрицательного, неравенство верно для всех $x$ из области определения левой части.

Найдем область определения:

$4x-x^2 \ge 0$

$x(4-x) \ge 0$

Корни $x_1=0$ и $x_2=4$. Ветви параболы $y=4x-x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [0; 4]$