Номер 166, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 166, страница 68.

Условие.

Решить неравенство (166—171).

166 1) $\sqrt{x} > 2$;

2) $\sqrt{x} < 3$;

3) $\sqrt[3]{x} \ge 1$;

4) $\sqrt[3]{2x} < 3$;

5) $\sqrt{3x} > 1$;

6) $\sqrt{2x} \le 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано неравенство $\sqrt{x} > 2$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, следовательно, $x \ge 0$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x})^2 > 2^2$
$x > 4$
Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решение должно удовлетворять системе неравенств: $\begin{cases} x > 4 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x > 4$.
Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) Дано неравенство $\sqrt{x} < 3$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
Обе части неравенства неотрицательны (левая часть по определению корня, правая — положительное число). Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 < 3^2$
$x < 9$
Совместим полученное решение с ОДЗ, решив систему: $\begin{cases} x < 9 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением системы является интервал $0 \le x < 9$.
Ответ: $x \in [0, 9)$.

3) Дано неравенство $\sqrt[3]{x} \ge 1$.
Корень нечетной степени (кубический корень) определен для любого действительного числа, поэтому ОДЗ для $x$ — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части неравенства в третью степень. Так как функция $y=t^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, знак неравенства сохраняется: $(\sqrt[3]{x})^3 \ge 1^3$
$x \ge 1$
Это и есть окончательное решение.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

4) Дано неравенство $\sqrt[3]{2x} < 3$.
ОДЗ для кубического корня — все действительные числа, поэтому на $x$ нет ограничений.
Возводим обе части неравенства в третью степень, знак неравенства сохраняется: $(\sqrt[3]{2x})^3 < 3^3$
$2x < 27$
Разделим обе части на 2: $x < \frac{27}{2}$ или $x < 13.5$.
Ответ: $x \in (-\infty, 13.5)$.

5) Дано неравенство $\sqrt{3x} > 1$.
ОДЗ: $3x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Обе части неравенства положительны, поэтому можем возвести их в квадрат: $(\sqrt{3x})^2 > 1^2$
$3x > 1$
$x > \frac{1}{3}$
Совместим решение с ОДЗ: $\begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x \ge 0 \end{cases}$
Пересечением является $x > \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

6) Дано неравенство $\sqrt{2x} \le 2$.
ОДЗ: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Обе части неравенства неотрицательны, возводим их в квадрат: $(\sqrt{2x})^2 \le 2^2$
$2x \le 4$
$x \le 2$
Совмещаем с ОДЗ, решая систему: $\begin{cases} x \le 2 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением является отрезок $0 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [0, 2]$.