Номер 165, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 165, страница 68.

Условие.

165 Решить систему неравенств:

1)$\begin{cases} 3-x \le 2, \\ 2x+1 \le 4; \end{cases}$

2)$\begin{cases} x^2-1 \ge 0, \\ x > 2; \end{cases}$

3)$\begin{cases} 9-x^2 \le 0, \\ x+5 < 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство:

$3 - x \le 2$

Перенесем 3 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-x \le 2 - 3$

$-x \le -1$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge 1$

Решением первого неравенства является промежуток $[1; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$2x + 1 \le 4$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$2x \le 4 - 1$

$2x \le 3$

Разделим обе части на 2:

$x \le \frac{3}{2}$ или $x \le 1.5$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 1.5]$.

Найдем пересечение решений: $x \ge 1$ и $x \le 1.5$. На числовой оси это будет отрезок, ограниченный с одной стороны 1 (включительно), а с другой - 1.5 (включительно).

Следовательно, решение системы: $1 \le x \le 1.5$.

Ответ: $[1; 1.5]$.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решим первое неравенство: $x^2 - 1 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 1 = 0$.

$x^2 = 1$

$x_1 = -1, x_2 = 1$

Это квадратичное неравенство. График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше или равны нулю при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Второе неравенство системы: $x > 2$.

Решением этого неравенства является промежуток $(2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и $(2; +\infty)$.

Общим для этих двух множеств является промежуток, где $x$ строго больше 2.

Ответ: $(2; +\infty)$.

3)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решим первое неравенство: $9 - x^2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $9 - x^2 = 0$.

$x^2 = 9$

$x_1 = -3, x_2 = 3$

График функции $y = 9 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Значения функции меньше или равны нулю при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 5 < 0$.

Перенесем 5 в правую часть:

$x < -5$

Решением этого неравенства является промежуток $(-\infty; -5)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -3] \cup [3; +\infty)) \cap (-\infty; -5)$.

Общая часть этих множеств — это все числа, которые меньше -5. Этот интервал полностью содержится в части $(-\infty; -3]$ первого решения.

Следовательно, решением системы является $x < -5$.

Ответ: $(-\infty; -5)$.