Номер 162, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 162, страница 63.

Условие.

162 Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:

1) $\sqrt{x-6} = -x^2$;

2) $\sqrt[3]{x} = (x-1)^2$;

3) $\sqrt{x+1} = x^2-7$;

4) $x^3-1 = \sqrt{x+1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы определить количество корней уравнения $\sqrt{x-6} = -x^2$, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x-6}$ и $y = -x^2$.

График функции $y = \sqrt{x-6}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Она получена сдвигом графика $y = \sqrt{x}$ на 6 единиц вправо. Область определения этой функции: $x-6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. Область значений этой функции: $y \le 0$.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков. Левая часть уравнения $\sqrt{x-6}$ неотрицательна ($\ge 0$) для всех $x$ из области определения. Правая часть уравнения $-x^2$ неположительна ($\le 0$) для всех $x$. Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю. Однако, $\sqrt{x-6} = 0$ при $x=6$, а $-x^2=0$ при $x=0$. Так как эти значения $x$ не совпадают, система уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x-6} \\ y = -x^2 \end{cases}$ не имеет решений. Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: 0 корней.

2) Решим уравнение $\sqrt[3]{x} = (x-1)^2$ графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = (x-1)^2$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — кубический корень. График проходит через точки $(-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2)$ и является возрастающей функцией на всей числовой оси.

График функции $y = (x-1)^2$ — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх. Область значений этой функции: $y \ge 0$.

Поскольку $y=(x-1)^2 \ge 0$, то и $\sqrt[3]{x} \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Искать точки пересечения будем только для $x \ge 0$. Рассмотрим поведение графиков:

• При $x=0$: $y=\sqrt[3]{0}=0$, а $y=(0-1)^2=1$. График параболы выше графика корня.
• При $x=1$: $y=\sqrt[3]{1}=1$, а $y=(1-1)^2=0$. График корня выше графика параболы.

Так как обе функции непрерывны, на интервале $(0, 1)$ есть одна точка пересечения. Рассмотрим поведение при $x>1$:

• При $x=1$ график $y=\sqrt[3]{x}$ находится в точке $(1,1)$, а $y=(x-1)^2$ в точке $(1,0)$.
• Функция $y=(x-1)^2$ растет гораздо быстрее, чем $y=\sqrt[3]{x}$ при больших $x$. Например, при $x=8$ имеем $y=(8-1)^2=49$ и $y=\sqrt[3]{8}=2$.

Поскольку при $x=1$ график корня был выше, а при $x=8$ график параболы стал выше, то на интервале $(1, \infty)$ должна быть еще одна точка пересечения. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

3) Для определения количества корней уравнения $\sqrt{x+1} = x^2-7$ построим графики функций $y = \sqrt{x+1}$ и $y = x^2-7$.

График функции $y = \sqrt{x+1}$ — это график $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево. Область определения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Область значений: $y \ge 0$.

График функции $y = x^2-7$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -7)$, ветви которой направлены вверх.

Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков. Так как левая часть уравнения $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $x^2-7 \ge 0 \implies x^2 \ge 7$, что означает $x \le -\sqrt{7}$ или $x \ge \sqrt{7}$. С учетом области определения ($x \ge -1$), получаем, что решения могут существовать только при $x \ge \sqrt{7}$ (где $\sqrt{7} \approx 2.65$). Проверим точку $x=3$:

• Левая часть: $y = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
• Правая часть: $y = 3^2 - 7 = 9 - 7 = 2$.

Поскольку значения совпали, $x=3$ является корнем. Графики пересекаются в точке $(3, 2)$. При $x > 3$ парабола $y=x^2-7$ растет значительно быстрее, чем график корня $y=\sqrt{x+1}$, поэтому других точек пересечения в этой области не будет. При $x \in [\sqrt{7}, 3)$ парабола находится ниже графика корня, так что они не пересекаются и на этом интервале. Следовательно, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1 корень.

4) Чтобы выяснить, сколько корней имеет уравнение $x^3 - 1 = \sqrt{x+1}$, построим графики функций $y = x^3 - 1$ и $y = \sqrt{x+1}$.

График функции $y = x^3 - 1$ — это кубическая парабола $y=x^3$, смещенная на 1 единицу вниз. Это возрастающая функция.

График функции $y = \sqrt{x+1}$ — это график $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу влево. Область определения $x \ge -1$, область значений $y \ge 0$.

Правая часть уравнения $\sqrt{x+1}$ неотрицательна, поэтому и левая часть должна быть неотрицательной: $x^3 - 1 \ge 0 \implies x^3 \ge 1 \implies x \ge 1$. Решения могут находиться только на промежутке $[1, \infty)$. Сравним значения функций на этом промежутке:

• При $x=1$: $y = 1^3 - 1 = 0$ и $y = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. График $y=\sqrt{x+1}$ выше.
• При $x=2$: $y = 2^3 - 1 = 7$ и $y = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$. График $y=x^3-1$ выше.

Поскольку обе функции непрерывны, а их графики "поменялись местами" на концах интервала $[1, 2]$, то на этом интервале они должны пересечься. Так как при $x > 1$ кубическая функция $y=x^3-1$ растет гораздо быстрее, чем функция корня $y=\sqrt{x+1}$, другого пересечения не будет. Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 1 корень.