Номер 161, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 161, страница 63.

Условие.

161 1) $\sqrt[3]{x^3-2} = x-2;$

2) $\sqrt[3]{x^3-5x^2+16x-5} = x-2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt[3]{x^3 - 2} = x - 2$

Для решения данного иррационального уравнения возведем обе его части в третью степень. Так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа подкоренного выражения, данное преобразование является равносильным.

$(\sqrt[3]{x^3 - 2})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 2 = (x - 2)^3$

Раскроем правую часть уравнения, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$x^3 - 2 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

$x^3 - 2 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые. Члены $x^3$ взаимно уничтожаются:

$x^3 - x^3 + 6x^2 - 12x - 2 + 8 = 0$

$6x^2 - 12x + 6 = 0$

Разделим обе части полученного квадратного уравнения на 6, чтобы упростить его:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{1^3 - 2} = 1 - 2$

$\sqrt[3]{1 - 2} = -1$

$\sqrt[3]{-1} = -1$

$-1 = -1$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $x=1$.

---

2) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2$

Аналогично первому уравнению, возведем обе части в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня:

$(\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Перенесем все члены уравнения из правой части в левую и приведем подобные слагаемые. Члены $x^3$ взаимно уничтожаются:

$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0$

$(-5x^2 + 6x^2) + (16x - 12x) + (-5 + 8) = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -3$

Проверим оба найденных корня.

Проверка для $x_1 = -1$:

$\sqrt[3]{(-1)^3 - 5(-1)^2 + 16(-1) - 5} = -1 - 2$

$\sqrt[3]{-1 - 5(1) - 16 - 5} = -3$

$\sqrt[3]{-1 - 5 - 16 - 5} = -3$

$\sqrt[3]{-27} = -3$

$-3 = -3$

Равенство верное.

Проверка для $x_2 = -3$:

$\sqrt[3]{(-3)^3 - 5(-3)^2 + 16(-3) - 5} = -3 - 2$

$\sqrt[3]{-27 - 5(9) - 48 - 5} = -5$

$\sqrt[3]{-27 - 45 - 48 - 5} = -5$

$\sqrt[3]{-125} = -5$

$-5 = -5$

Равенство верное.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -3$.