Номер 157, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 9. Иррациональные уравнения - номер 157, страница 62.

Условие.

157 1) $\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^3+x^2} = 0;$

2) $\sqrt[3]{1+x^4} = \sqrt[3]{1+x^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^3+x^2} = 0$.

В области действительных чисел значение квадратного корня всегда неотрицательно. То есть, $\sqrt{a} \ge 0$ при $a \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2+2} = 0 \\ \sqrt{x^3+x^2} = 0 \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение системы: $\sqrt{x^2+2} = 0$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x^2+2 = 0$, откуда $x^2 = -2$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Поскольку уже первое уравнение системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Альтернативное рассуждение: для любого действительного $x$ имеем $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+2 \ge 2$. Тогда $\sqrt{x^2+2} \ge \sqrt{2}$. Это означает, что первое слагаемое в исходном уравнении всегда строго положительно. Второе слагаемое, $\sqrt{x^3+x^2}$, неотрицательно (при условии, что $x^3+x^2 \ge 0$). Сумма строго положительного и неотрицательного числа всегда строго положительна и не может быть равна нулю.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

2) Решим уравнение $\sqrt[3]{1+x^4} = \sqrt[3]{1+x^2}$.

Поскольку функция $y=\sqrt[3]{z}$ является монотонно возрастающей и взаимно-однозначной на всей числовой оси, равенство кубических корней эквивалентно равенству подкоренных выражений. Поэтому мы можем возвести обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{1+x^4})^3 = (\sqrt[3]{1+x^2})^3$

$1+x^4 = 1+x^2$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$x^4 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$x^2(x-1)(x+1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три возможных случая:

$x^2 = 0 \implies x = 0$

$x-1 = 0 \implies x = 1$

$x+1 = 0 \implies x = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x \in \{-1, 0, 1\}$.